(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг

Меня пригласили на ужин в дорогой ресторан: предполагалась встреча с генеральным директором крупной социальной сети и его женой. Я нервничала, оказавшись за столом роскошного ресторана, типичного дорогого заведения Кремниевой долины, размышляя, что принесет этот вечер. Организовать встречу помог один из моих друзей, который был знаком с женой генерального директора. Друг знал о моей деятельности по улучшению преподавания математики и решил, что пообщаться с таким руководителем будет полезно. После нескольких лет жизни и работы в Кремниевой долине я поняла, что подобная коммуникация – часть структуры этого региона и одна из причин развития инноваций и роста производительности.

Начало ужина обескураживало. Раньше я не сталкивалась ни с чем подобным: генеральный директор вел себя так, словно больше за столом никого не было. Он постоянно разговаривал по телефону с коллегами и деловито составлял рабочие планы, вынув из портфеля стопку рабочих документов. Такое поведение, намеренное или нет, заставляло всех нас ощущать собственную незначительность. Его жена выглядела смущенной и раз за разом бросала взгляд в сторону импровизированного офиса мужа на углу нашего стола. Это продолжалось, пока не принесли еду, и директор вынужденно закончил работу. В середине ужина он признал мое существование. Оторвав глаза от еды, генеральный директор пристально посмотрел на меня и с неодобрением спросил: «Значит, вы считаете, что преподавание математики стоит менять?»

Без малейшей паузы он принялся рассказывать, как хорошо у него было с математикой, перечисляя свои многочисленные достижения в школе и в колледже. В этот момент я поняла, что разговор будет непростым. Я многие годы пыталась улучшить преподавание этого проблемного у многих предмета и знала, что люди, добившиеся в нем успеха, обычно считают, что ничего менять не нужно. В их представлении математика – дело сложное, а их собственные успехи доказывают их блестящие способности. Но вам следует знать обо мне одну вещь: я готова бороться за то, что считаю реальными проблемами, с которыми сталкиваются многие учащиеся. Я решила познакомить директора с другой математикой.

Рис. 1.1. Автор демонстрирует предложенную Рут Паркер модель увеличивающихся фигур, которая показана на рис. 1.2.

Я рассказала, что нейробиологи установили, каким образом наш мозг обрабатывает математические данные, и почему важен тот факт, что при математическом мышлении мы задействуем различные участки мозга, особенно зрительные пути. Он согласился взглянуть на диаграммы, которые я часто использую при знакомстве с новыми людьми. Я выбрала одну из своих любимых, предложенную преподавателем математики Рут Паркер (рис. 1.1 и 1.2).

Рис. 1.2. Модель увеличивающихся фигур Рут Паркер.

Обычно такие диаграммы используются, чтобы учащиеся задумались о закономерностях увеличения числа клеток и сумели выразить их с помощью алгебраических символов. На уроках математики ученикам часто задают вопросы по типу: «Сколько квадратиков будет на фигуре 10? А на фигуре 100? А на фигуре n?» Это хорошие вопросы, которые становятся намного понятней, когда задействовано визуальное мышление. Обычно преподаватель ожидает, что ученики нарисуют таблицу с числами, а затем будут глазеть на нее, пока не заметят какую-нибудь связь. Здесь можно обнаружить числовую закономерность: чтобы найти количество квадратиков фигуры, достаточно взять ее номер (например, 2), прибавить к нему единицу (3), а затем возвести это число в квадрат и получить 9. Прибавление единицы и возведение суммы в квадрат позволяет найти общее количество квадратиков в любой из фигур. Алгебраически эту закономерность можно выразить как (n + 1)².

Выражение (n + 1)² является квадратичной функцией. Когда ученики работают подобным образом – манипулируют числами и символами без связей и смысла, – они упускают важные возможности для понимания математических функций. На своих занятиях я не спрашиваю, сколько квадратиков в разных фигурах. Вместо этого я говорю: «В каком месте, по-вашему, увеличивается фигура? Где вы видите на ней новые квадратики?» Именно эти вопросы я и задала в тот вечер генеральному директору.

Количество квадратиков в каждой фигуре

Его ответ удивил меня. Дело не в том, что генеральный директор не видел способ роста; он видел и мог его описать: новые квадраты находились на верху каждого столбца. Другие люди называют это методом «дождя»: квадраты добавляются к фигуре сверху, словно капли, падающие с неба. На рисунке 1.3 показан не только этот метод, но и другие способы, как люди воспринимают рост фигуры на диаграммах.

Но, объяснив свое восприятие, директор задал мне вопрос, который мне не доводилось слышать раньше. С искренней растерянностью в голосе он спросил: «А разве не увеличение размеров разными способами. все видят это именно так?» Я не стала отвечать ему «нет», а просто попросила всех людей за столом сообщить, как они видят увеличение фигуры. Оказалось, что все наблюдают рост по-разному. Директор выглядел все более шокированным, словно ему никогда не приходило в голову, что в математике существует не одно ви́дение. Он недоуменно покачал головой. Мы завладели его вниманием.

Рис. 1.3. Люди видят и описывают

Чтобы продвинуться дальше в математике, очень важно изменять вопросы. Когда ученики сталкиваются с узким числовым вариантом и смотрят на таблички с числами, устанавливая закономерности и подбирая алгебраические выражения, они могут прийти к (n + 1)², но они не понимают, почему это выражение работает или что оно означает. Когда мы спрашиваем учеников, каким образом они воспринимают рост фигуры, это способствует более глубокому пониманию такой функции. Они могут визуально проследить, что количество квадратиков растет как квадрат, который всегда на единицу больше, чем номер фигуры. Нагляднее всего это демонстрирует последний метод на рисунке 1.3. Вот почему мы можем описать рост как (n + 1)².

Далее, в процессе ужина, я рассказала об интересующей меня ценности математического разнообразия, которое вытекает из важных нейронаучных исследований. Термин разнообразие означает различие, множественность. В этой книге я буду использовать термин математическое разнообразие для различных способов, с помощью которых мы можем смотреть на математику и изучать ее, подобно тому, как мы оперируем понятием «разнообразие людей» (расовое, культурное, социальное или любое другое). Я также буду говорить о ish-математике[1], чтобы описать способ восприятия этого предмета, который мы используем в реальном мире и который может стать мощным инструментом для развития мышления студентов. Принятие этих концепций математического разнообразия и ish-математики – это ключ к богатому пониманию математики, который в равной степени значим для всех, независимо от образования, пола, расовой или этнической принадлежности и так далее.

Исследования показывают, что разнообразие учащихся является важнейшим фактором для сотрудничества, решения проблем, сопереживания, успехов и многого другого¹. Ученые также пришли к выводу, что, когда математика воспринимается как предмет, на который можно смотреть по-разному и искать различные решения, это приводит к более высокой успеваемости, большей мотивации и удовольствию². Эти два аспекта разнообразия (математическое и человеческое) самостоятельны, но при этом прекрасно сочетаются, усиливая и поддерживая друг друга. Если мы хотим ценить то, что люди думают по-разному, и поощрять это, нам следует отказаться от узкой математики – той единственной, которую знает подавляющее большинство. Напротив, мы должны принять математическое разнообразие.

В тот вечер генеральный директор был поражен многоплановым подходом, которого часто не хватает в школах и домах – а это серьезно ухудшает отношения людей с математикой. Некоторые люди могут добиться успеха, используя узкую одномерную версию математики, но даже они упускают весь спектр и силу этой науки. Когда люди вовлекаются во все многообразие, это меняет восприятие информации, с которой они сталкиваются, – числовой, пространственной или связанной с данными.

Другой путь

Я профессор Стэнфордского университета, однако начинала карьеру с преподавания математики в лондонских школах. Сначала работала учительницей в Хаверстоке – средней школе в районе Камден-таун в центре Лондона³. Камден – колоритный и красивый, но недостаточно обеспеченный район; большинство учеников здесь происходят из семей, получающих материальную помощь для аренды жилья, и имеют право на бесплатное школьное питание. Когда я преподавала в Хаверстоке, ученики говорили более чем на сорока разных языках. Удивительное разнообразие.

Окончив Лондонский университет, я пошла работать в школу, преисполненная идей, каким образом показывать ученикам красоту и радость математики. Школьникам в классе было по тринадцать лет, и их только что разделили на группы по способностям. Мне досталась самая слабая – группа 4. Здесь я познакомилась с дерзкой ученицей Сью: позже я узнала, что она была на грани исключения из школы. Она открыто в школе Хаверсток (Лондон). не соглашалась с некоторыми идеями учителей, из-за чего ее часто отстраняли от уроков. В мой первый рабочий день Сью с фирменным нахальным выражением лица и блеском в глазах громко спросила: «А нам-то это зачем?»