Логика Аристотеля. Том 4. Первая аналитика Аристотеля и формальная логика

Переводчик Валерий Алексеевич Антонов

© Александр Афродисийский, 2025

© Валерий Алексеевич Антонов, перевод, 2025

ISBN 978-5-0067-1456-4 (т. 4)

ISBN 978-5-0064-6688-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Александр Афродисийский. Комментарий к первой книги «Первой Аналитики» Аристотеля (Продолжение)

p. 40b15 Очевидно также, что все [силлогизмы] несовершенны и что они завершаются через первую фигуру.

Ведь это было сказано и относительно второй фигуры: «завершаются через упомянутые фигуры» – вместо «через упомянутую фигуру» он сказал «фигуры». Что же касается силлогизмов в этой фигуре, то они также несовершенны и завершаются через первую фигуру, это очевидно: одни были доказаны через обращение посылок, другие – через приведение к невозможному, в которых меньшая [посылка] была общеутвердительной, либо присущей, либо необходимой, а большая – частноотрицательной возможной. Он упомянул это доказательство только для смешения из возможной и присущей [посылок]; для смешения из необходимой и возможной [посылок] он лишь сказал, что заключение получается как возможное согласно определению, но не привёл само доказательство.

Текст: «И когда берётся отрицательная [посылка], а утвердительная – необходимая». Ведь из общеутвердительной необходимой меньшей [посылки] и частноотрицательной возможной большей [посылки] в третьей фигуре доказывается силлогистическое [заключение] и через приведение к невозможному, и через обращение.

Если мы преобразуем частновозможную отрицательную [посылку] А Г в утвердительную и обратим её, то будет выведено, что В возможно с некоторым А, а после обращения заключения будет доказано то, что было сказано ранее. Но через приведение к невозможному доказывается частноотрицательное возможное [заключение], а через обращение – частноутвердительное возможное [заключение]. Поэтому он и не использует доказательство через обращение в таком сочетании, так как не сохраняется отрицательный характер заключения при отрицательной посылке.

Таким же образом, даже если большая [посылка] является общеутвердительной необходимой, а меньшая – частноотрицательной возможной, [доказательство] проводится через оба вида обращения.

Дополнение к p. 40b15

Аристотель показывает, что все фигуры сводятся к первой через преобразования, но во избежание потери отрицательного характера (например, при обращении) предпочитает приведение к невозможному. Примеры иллюстрируют, как смешанные посылки (необходимые + возможные) требуют разных методов для корректного вывода.

1. Несовершенные силлогизмы (ἀτελεῖς συλλογισμοί) завершаются через первую фигуру (πρῶτος σχῆμα).

– Во второй фигуре (δεύτερος σχῆμα) это происходит через обращение (ἀντιστροφή) или приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

– В третьей фигуре (τρίτος σχῆμα) – аналогично, но с нюансами:

– Если меньшая посылка (ἐλάττων πρότασις) – общеутвердительная необходимая (κατηγορικὴ ἀναγκαία), а большая (μείζων πρότασις) – частноотрицательная возможная (ἐνδεχομένη στερητική), доказательство идёт через:

– Обращение (например, преобразование частноотрицательной возможной посылки в утвердительную).

– Приведение к невозможному (для сохранения отрицательного характера заключения).

2. Пример по логике:

– Через обращение:

– Дано: «Некоторые А не могут быть Г (возможно)» → преобразуем в «Некоторые Г могут быть А».

– Результат: «В возможно с некоторыми А» → после обратного вывода получаем искомое заключение.

– Через невозможное:

– Предполагаем противоречие к желаемому выводу (например, «В необходимо не с некоторыми А»), приходим к абсурду, подтверждая исходное утверждение.

ρ. 40b17 Итак, что (в этих фигурах силлогизмы завершаются через универсальные силлогизмы в первой фигуре.

Он говорит о силлогизмах во второй и третьей фигурах, напоминая нам о доказанном: ибо было доказано, что все силлогизмы в этих фигурах завершаются через первую фигуру либо непосредственно через обращение посылок, либо гипотетически через приведение к невозможному. Указание «универсальные» добавлено либо для того, чтобы показать, что все они сводятся к двум универсальным силлогизмам в этой фигуре (ибо это также было доказано, когда и те, кто выводят частные заключения в первой фигуре, были показаны как сводящиеся к двум универсальным первой фигуры через приведение к невозможному, а также к двум во второй фигуре, состоящим из двух универсальных посылок: если все сводятся к ним, то и завершаются через них, из которых получают свое бытие), либо слово «универсальные» здесь употреблено вместо «просто», ибо все универсальные и просто все завершаются через силлогизмы в первой фигуре. И сказанное можно понимать так: «завершаются же универсальные через силлогизмы в первой фигуре».

Дополнение к ρ. 40b17

Все силлогизмы зависимы от первой фигуры – как от архетипа (ἀρχή) логического вывода.

Аристотель (в Analytica Priora, 40b17) утверждает, что все силлогизмы второй (δευτέρα σχῆμα) и третьей (τρίτον σχῆμα) фигур сводятся к универсальным (καθόλου) силлогизмам первой фигуры (πρῶτον σχῆμα).

Как:

1. Через обращение посылок (ἀντιστροφή).

2. Через приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

Уточнение:

– Слово «универсальные» может означать:

– Сведение ко всем (πάντα) двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara и Celarent).

– Или просто «вообще все» (ἁπλῶς πάντα) завершаются через первую фигуру.

Пример по логике:

– Вторая фигура (Cesare):

– «Ни одно P не есть M» + «Все S есть M» → «Ни одно S не есть P».

– Сводится к Celarent (1-я фигура) через обращение первой посылки.

– Третья фигура (Darapti):

– «Все M есть P» + «Все M есть S» → «Некоторые S есть P».

– Доказывается через reductio ad impossibile (если вывод ложен, возникает противоречие в 1-й фигуре).

p. 40b90 Что же всякий силлогизм вообще так устроен, теперь станет ясно.

Или его задача – показать, что никакой силлогизм не возникает вне трех указанных фигур. Но всякий находится в одной из этих фигур. Таким образом, будет одновременно доказано и то, что всякий силлогизм сводится к двум в первой фигуре, состоящим из универсальных посылок. Слова «всякий силлогизм вообще так устроен» означают либо то, что «так устроен, как мы перечислили и изложили, показывая силлогизмы в каждой фигуре (ибо всякий будет одним из указанных нами, или всякий, который берется: это будет доказано, если будет доказано, что никакой не возникает вне трех фигур, которые мы изложили; ибо если всякий возникающий находится в них, а те, которые в них, суть те, что мы изложили, то всякий возникающий силлогизм был бы в тех, что мы изложили)», либо «всякий силлогизм вообще так устроен, что сводится к универсальным в первой фигуре».

Дополнение к p. 40b90

Все силлогизмы укладываются в три фигуры и сводятся к Barbara/Celarent – как к основе (ἀρχή) дедукции.

– Любой корректный вывод (συμπέρασμα) зависит от универсальных модусов первой фигуры.

1. Структура силлогизма (συλλογισμός)

– Любой силлогизм строится по одной из трёх фигур (σχήματα).

– Невозможен силлогизм вне этих фигур.

2. Сведение к первой фигуре

– Все силлогизмы сводятся к двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara, Celarent).

3. Доказательство

– Если все силлогизмы возникают (γίγνεται) только в трёх фигурах,

– а в них они уже изложены (διειλήφαμεν),

– значит, других форм нет.

Логика и примеры

– Пример сведения:

– Силлогизм второй фигуры Cesare (∀M ¬P, ∀S M → ∀S ¬P) сводится к Celarent (∀P ¬M, ∀S M → ∀S ¬P) через конверсию посылки.

р. 40b23 Необходимо, чтобы всякий силлогизм и всякое доказательство показывали, что что-либо присуще или не присуще чему-либо.

Он показывает, что всякий силлогизм будет одним из упомянутых и в одном из трёх фигур, сначала делая разделение того, что доказывается силлогистически, и затем каждое из того, что получилось в разделении, показывает не могущим быть доказанным иначе, как только через одну из трёх упомянутых фигур и через сочетания в них. Ибо когда это будет показано, то предложенное будет доказано.

Он принимает, что всякое доказательство и всякий силлогизм (используя теперь это имя в более общем смысле, чем доказательство) показывает, что что-либо присуще или не присуще чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное. Ибо он показывает, что присуще всему или ничему (это общее) или присуще некоторому или не всему (это частное).

Сказав же, что то, что доказывается силлогистически, есть это, он далее приводит и способы доказательств, говоря, что они доказывают или непосредственно, или из предположения. Непосредственными он называет те, которые доказывают категорически и без какого-либо предположения, но само предложение прямо и непосредственно (ибо они не употребляют имя «категорический» для этого способа доказательства, но имя «непосредственный», а «категорический» у них в обычае называть «утвердительным»). Из предположения же – те, которые полагают некоторое предположение в доказательстве и пользуются одной или несколькими предположенными посылками.

Он покажет, что и в доказательствах из предположения то, что доказывается силлогистически, показывается как присущее или не присущее чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное – доказывается через них.

Он говорит, что частью и видом доказательства из предположения является и доказательство через невозможное, показывая нам, что́ именно есть доказательство из предположения и почему оно называется таковым. Ибо и в доказательствах через невозможное, предположив противоположное тому, что хотим доказать, мы строим силлогизм, направленный на это, показывая его невозможность, сперва силлогизируя и показывая ложность и невозможность, а затем, как следствие, устанавливая истинное и предложенное.

О доказательствах из предположения он скажет далее, ибо рассуждение о них последует за этим. Сначала же он показывает, что все те, кто доказывает категорически и непосредственно, как он говорит, делают это через упомянутые фигуры. Ибо из них, говорит он, станет известным и то, что касается предположительных.

Дополнение к р. 40b23

Аристотель систематизирует логику, показывая, что все доказательства сводятся к комбинациям трёх фигур и двух типов (непосредственные и через предположение).

1. Цель силлогизма (συλλογισμός) и доказательства (ἀπόδειξις) – показать, что нечто присуще (ὑπάρχειν) или не присуще (μὴ ὑπάρχειν) чему-либо.

2. Три фигуры (σχήματα) силлогизма – единственные возможные формы доказательства.

– Доказанное силлогистически делится на:

– Общее (καθόλου) – «присуще всему» или «ничему».

– Частное (καθ» ἕκαστον) – «присуще некоторому» или «не всему».

3. Способы доказательства:

– Непосредственные (ἄμεσοι) – прямые, без допущений (категорические, но термин «κατηγορικός» у Аристотеля означает «утвердительный»).

– Из предположения (ἐξ ὑποθέσεως) – с дополнительным допущением (например, доказательство через невозможное (εἰς τὸ ἀδύνατον)).

4. Доказательство через невозможное:

– Принимается противоположное доказываемому.

– Строится силлогизм, ведущий к противоречию (ἀδύνατον).

– Отсюда следует истинность исходного утверждения.

Логика с примерами

– Пример общего утверждения (1-я фигура):

– Все люди смертны (καθόλου).

– Сократ – человек.

→ Сократ смертен.

– Пример через невозможное:

– Докажем: «Душа бессмертна».

– Предположим противоположное: «Душа смертна».

– Если душа смертна, то познание невозможно (логическое следствие).

– Но познание существует (очевидный факт).

→ Значит, исходное предположение ложно → душа бессмертна.

p. 40b30

Если бы нужно было вывести, что А присуще или не присуще В, то есть если бы нашей задачей было сделать утвердительное или отрицательное заключение об А по отношению к В (ведь доказательное [рассуждение] именно таково), необходимо взять что-то, сказывающееся о чём-то. Ибо если ничего не взять, то ничего и не будет доказано. Но даже если взять [что-то] гипотетически, силлогизм всё равно будет доказательным. Однако если взять что-то другое, сказывающееся о другом, но не связанное ни с А, ни с В, то вообще не будет речи об этих [терминах].

Более того, если бы мы взяли, что А сказывается о В, то мы бы взяли именно то, что хотим доказать, а это значит – взять исходное положение. Ведь исходное положение исследуется не как исследуемое, а как уже установленное. Следовательно, А должно сказываться о чём-то другом, или что-то другое должно сказываться об А.

Итак, если мы скажем, что А сказывается о Γ, а Γ не сказывается ни о чём, и ничто другое не сказывается о Γ, и также ничто другое не сказывается об А, то мы вообще не получим силлогизма. Здесь не хватает условия, чтобы и А не сказывалось ни о чём другом, ибо такова структура второй фигуры. Ведь силлогизм не получается, если взят только один [элемент]. Это означает, что если что-то взято относительно одного [термина], то из этого с необходимостью ничего не следует.

Он хочет сказать, что при взятии одного посыла ничего не следует силлогистически, ибо силлогизм – это рассуждение, в котором «если нечто положено», а не «если одно положено». Следовательно, нужна и другая посыла, чтобы доказать силлогистически, что нечто присуще или не присуще [чему-то].

Если, например, добавить, что А сказывается о другом [термине], допустим, о Δ, отрицательно, то получится силлогизм во второй фигуре, [устанавливающий отношение] Γ к Δ. Если же что-то другое сказывается об А, например Δ, силлогистически, то получится силлогизм в первой фигуре, [устанавливающий отношение] Δ к Γ. Если же о Γ, как и об А, сказывается что-то другое силлогистически, например Δ, то получится силлогизм в третьей фигуре, [устанавливающий отношение] А к Δ.

Поэтому он и сказал: «Ничто не мешает, чтобы из взятых таким образом [посыл] получился силлогизм, однако не будет доказано, что В или А сказывается [друг о друге], как было поставлено в задаче, или вообще что-либо из упомянутого, поскольку В изначально не был взят в положенных посылках и ни один из терминов не был с ним связан».

Но даже если мы будем брать [посылы] напрямую, например, что [А сказывается] о Γ, а Γ – о другом, и то [другое] – ещё о чём-то, то и в этом случае, если посылы взяты силлогистически, получится силлогизм в первой фигуре, где А будет сказываться о последнем взятом [термине], но не о В, если только он не был взят [в посылках].

Вообще, если не окажется термина, связывающего [рассуждение] с В, так же как и с А, то не будет и силлогизма об А по отношению к В, что и требовалось доказать. Ведь силлогизм одного [термина] относительно другого не получается, если не взят некоторый средний термин, который будет иметь некоторое отношение к обоим крайним [терминам], о которых нужно сделать доказательство, – либо будучи связанным с обоими, либо сказываясь о них обоих силлогистически, либо подчиняясь обоим, либо сказываясь об одном и подчиняясь другому.

Вообще, силлогизм состоит из посыл, имеющих некоторый общий средний термин. А силлогизм, относящийся к определённому [заключению], состоит из посыл, связанных с этим [заключением]. Поэтому, если взятые посылы никак не связаны с этим [заключением], ничто не помешает возникнуть силлогизму, но не [относящемуся] к этому [заключению].

Если, например, задачей было построить некоторый силлогизм относительно А, то нужно взять первый крайний термин, связанный через один из трёх [силлогистических] способов с некоторым средним [термином] и другим крайним [термином], иначе не получится силлогизм, относящийся к нему.

Например, если задачей было что-то вывести об удовольствии, и мы возьмём, что «всякое удовольствие согласно природе» и «всё согласное с природой избираемо», то мы построим некоторый силлогизм, относящийся к поставленной задаче. Но он не будет относиться к поставленной задаче, если мы возьмём: «всякое удовольствие есть движение» и «всякое движение несовершенно», ибо у нас не было определённого сказуемого.

Опять же, силлогизм одного определённого [термина] относительно другого строится из посыл, связанных с этим и этим [терминами].

Если же задачей было сделать заключение об А относительно В, то посылы должны быть связаны и с В, а не только с А, как это есть в взятых [нами посылах]. Ибо невозможно связать посылку с чем-то, если ни один из этих [терминов] не взят ни как подлежащее, ни как сказуемое.

Но и заключение об А относительно В никогда не получится, если не будет взят некоторый общий для них [термин], который их свяжет, а о каждом из них будет что-то утверждаться или отрицаться отдельно.

Итак, если силлогизм одного [термина] относительно другого возможен только тогда, когда взят некоторый общий для них средний [термин], а отношение среднего [термина] к тем, для которых он берётся как средний, бывает трёх видов (ибо он либо помещается между ними, будучи подлежащим для одного и сказуемым для другого, либо сказывается об обоих, либо подчиняется обоим), и кроме этих [вариантов] невозможно иное его положение и отношение к тем, для которых он берётся как средний, а указанные положения образуют три фигуры, то ясно, что всякий доказательный силлогизм осуществляется через одну из трёх упомянутых фигур и через все силлогистические сочетания в каждой из них.

Следовательно, всякий категорический, то есть доказательный, силлогизм будет одним из упомянутых [видов] силлогизмов.

Сказав и показав это, он добавляет, что тот же самый довод применим и в случае, если [связь] с В устанавливается через большее [число терминов]. Ибо даже если А связывается с В не через один средний термин, а через несколько, то взятие этих нескольких средних [терминов] также будет происходить согласно одной из трёх фигур.

Если, например, взято несколько средних [терминов] по прямой линии, так что А сказывается о Γ, Γ – о Δ, Δ – о Ε, а Ε – о В, то силлогизм об А относительно В будет в первой фигуре.

Если же Γ сказывается об А отрицательно, а о Δ – утвердительно, то во второй фигуре будет выведено, что А не сказывается ни о каком Δ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что Δ не присуще ни одному В (поскольку это общеотрицательное утверждение), то будет выведено, что А не присуще ни одному В во второй фигуре через средние [термины] Γ и Δ.

Если же Γ сказывается обо всех Δ, и вновь В сказывается обо всех Δ, то в третьей фигуре получается, что В сказывается о некотором Γ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что А сказывается обо всех Γ (поскольку это частноутвердительное утверждение), то будет выведено, что А сказывается о некотором В.

Если же Γ и В сказываются обо всех Δ, и вновь А сказывается обо всех Γ, то также получается, что А сказывается о некотором В через несколько средних [терминов] (через Δ и Γ) в третьей фигуре.

Далее он показывает, что и силлогизмы, построенные по предположению, осуществляются через одну из этих фигур, и в качестве примера приводит [силлогизмы] через невозможное, показывая, как и они исходят из предположения и выводят [заключение] через одну из трёх фигур.

Они исходят из предположения, потому что противоречащее тому, что хотят доказать, предполагается [в качестве посылы], а затем, рассуждая через это и некоторую другую истинную посылку, приходят к невозможному доказательным путём. Благодаря этому они устраняют предположение, являющееся причиной невозможного заключения, и утверждают противоречащее [ему], уже не выводя это посредством силлогизма.

Все доказательные силлогизмы, как было показано, осуществляются через одну из трёх фигур, следовательно, и силлогизм в приведении к невозможному также будет осуществляться через одну из трёх фигур, поскольку он категорический и доказательный.

Тот, кто доказывает через невозможное, силлогистически выводит ложность, как было сказано, а то, что он хочет доказать и что изначально было его задачей – через доказательный силлогизм, [а именно] противоречащее тому, что он предположил, – [устанавливает] через устранение этого [предположения], поскольку оно приводит к невозможному.

Например, если кто-то хочет доказать, что «ни один человек не является летающим», то через приведение к невозможному он предполагает противоречащее тому, что хочет доказать (а именно, что «некоторый человек является летающим»), затем, присоединив к этому истинную и общепризнанную посылку «всё летающее имеет крылья», он выводит через категорический силлогизм в первой фигуре, что «некоторый человек имеет крылья».

Силлогизм, получающийся через приведение к невозможному, таков, но исходная задача – доказать, что «ни один человек не является летающим» – доказывается не через силлогизм, а через то, что причиной невозможного заключения стало предположение, противоречащее тому, что требовалось доказать.

И это [предположение] устраняется, а [требуемое] утверждается в силу необходимости того, что одна из частей противоречия должна быть истинной.

Опять же, если кто-то хочет доказать, что «не существует движения через пустоту», то через невозможное он предполагает, что «есть движение через пустоту», а затем, доказав и выведя некоторое невозможное следствие из этого предположения, устраняет его и утверждает требуемое.

Он показывает, что если есть движение через пустоту, то более тяжёлые и более лёгкие [тела] будут двигаться с одинаковой скоростью. Ибо через категорический силлогизм [это выводится] так:

«В том, где нет ничего разделяемого движущимися через него [телами], все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью.

Но в пустоте нет ничего разделяемого движущимися через неё [телами].

Следовательно, в пустоте все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью».

Но это невозможно. Следовательно, невозможно и движение через пустоту.

Значит, движения через пустоту нет».

И в этом рассуждении через категорический силлогизм доказана невозможность, а то, что «нет движения через пустоту», утверждается через устранение предположения.

Дополнение к p. 40b30

1. Основная мысль

Для доказательства, что А (Ἀ) присуще или не присуще В (Β), нужны посылки (προτάσεις), связывающие эти термины через средний термин (μέσον). Без среднего термина силлогизм (συλλογισμός) невозможен.

2. Условия корректного силлогизма

– Средний термин должен быть связан с А и В одним из трёх способов (три фигуры силлогизма):

1. Первая фигура (πρῶτος σχῆμα): μέσον подчиняется А и подчиняет В.

2. Вторая фигура (δεύτερον σχῆμα): μέσον подчиняет и А, и В.

3. Третья фигура (τρίτον σχῆμα): μέσον подчиняется и А, и В.

– Если термины не связаны через μέσον, вывод о А и В невозможен.

3. Ошибки в построении силлогизма

– Взятие только одной посылки (μία πρότασις) – недостаточно.

– Неправильная связь терминов – если А и В не имеют общего μέσον, силлогизм не о них.

– Порочный круг – если А сразу сказывается о В, это не доказательство, а исходное утверждение (ἀρχή).

4. Примеры

– Правильный силлогизм (первая фигура):

– Всё Γ (μέσον) есть В.

– Всё А есть Γ.

→ Всё А есть В.

– Ошибка (нет среднего термина):

– Всё А есть движение (κίνησις).

– Всё движение несовершенно (ἀτελές).

→ Но вывод не о В, значит, силлогизм не решает задачу.

– Приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή):

– Предположим: «Некоторый человек летает» (ψευδές).

– Но «Всё летающее имеет крылья» (ἀληθές).

→ «Некоторый человек имеет крылья» (ἀδύνατον).

→ Значит, исходное предположение ложно.

5. Вывод

Любой доказательный силлогизм строится через одну из трёх фигур и требует:

– Двух посылок (δύο προτάσεις).

– Среднего термина (μέσον), связывающего крайние (А и В).

– Отсутствия порочного круга.

Без этого – вывод либо невозможен, либо не относится к поставленной задаче.

р. 41a26 Например, что диагональ несоизмерима со стороной, потому что при допущении соизмеримости нечетные числа становятся равными четным.

В качестве примера он сам использует доказательство через невозможное, показывая это на диагонали, как он, пользуясь доказательством через невозможное, демонстрирует то, что хочет обосновать. Ведь он не строит силлогизм, что диагональ несоизмерима со стороной, показывая это таким образом [что и есть то, что он хочет доказать], но, приняв противоположное – что она соизмерима со стороной, – он показывает через силлогистическое доказательство, что при таком допущении нечетные числа становятся равными четным. А поскольку это невозможно, то опровергается предположение, из которого это следовало, и через опровержение этого предположения обосновывается его противоположное – что диагональ несоизмерима со стороной, так как в любом случае одна из частей противоречия должна быть истинной, что и было изначально поставлено как задача.

А силлогизм о том, что нечетные числа становятся равными четным, если диагональ соизмерима со стороной, пусть будет таким: пусть есть квадратное поле ABCD, и пусть его диагональ – BT. Если диагональ BT соизмерима со стороной AB, то она будет иметь к ней отношение, которое число имеет к числу, ибо у Евклида в десятой книге «Начал» доказано, что «соизмеримые величины относятся друг к другу, как число к числу», и это есть четвертая теорема в десятой книге. Пусть отношение диагонали BT к стороне BA будет как число E к числу F, и пусть взяты наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно простые между собой, ибо «наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно просты». Это также доказано у Евклида в седьмой книге «Начал». Взаимно простые – это те, которые измеряются только единицей.

Пусть каждое из чисел E и F умножено само на себя, и пусть произведение числа H на себя будет I, а числа Θ – K. Следовательно, I и K – квадратные числа, и они также взаимно просты, ибо это тоже доказано в седьмой книге «Начал»: если два числа взаимно просты и каждое из них умножено само на себя, то получившиеся числа также будут взаимно просты.

Поскольку отношение диагонали BT к стороне AB такое же, как числа E к числу F, а отношение E к F такое же, как H к Θ, то и отношение диагонали BT к стороне AB будет таким же, как отношение числа H к числу Θ. И потому отношение квадрата диагонали BT к квадрату стороны AB будет таким же, как отношение квадрата числа H к квадрату числа Θ. А эти квадраты – I и K. Но квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, следовательно, число I вдвое больше числа K. Поэтому I – четное, ибо всякое удвоенное число четно, так как делится на равные части. Но и его половина будет четной, ибо у квадратных чисел, делящихся на равные части, и половины четны. Следовательно, K, будучи половиной I, также четно. Однако оно и нечетно, ибо H и Θ были взаимно простыми. Но невозможно, чтобы четные числа были взаимно простыми, ибо четные числа не измеряются только единицей как общей мерой, что есть свойство взаимно простых.

Следовательно, либо оба должны быть нечетными, либо один из них, но оба оказались четными из-за предположения. Таким образом, при допущении, что диагональ соизмерима со стороной, нечетные числа становятся равными четным, что невозможно.

В этом доказательстве силлогизм привел к тому, что нечетные числа равны четным, что ложно. А то, что диагональ несоизмерима со стороной, доказывается через предположение: ибо, приняв противоположное этому, через силлогизм было показано, что из этого следует нечто невозможное, и через опровержение предположения утверждается другое, так как одно из них должно быть истинным. Это и есть доказательство через противоречие.

И если даже в приведении к невозможному силлогизм, приводящий к ложному, является доказательным, то есть категорическим, и завершается через одну из трех фигур, то и силлогизмы через невозможное, будучи частью гипотетических, также относятся к этим трем фигурам.

Дополнение к р. 41a26

Ключевые понятия

– Несоизмеримость (ἀσύμμετρος) – отсутствие общей меры для диагонали и стороны.

– Доказательство через невозможное (ἀπαγωγὴ εἰς τὸ ἀδύνατον) – метод, при котором опровергается допущение, ведущее к противоречию.

– Силлогизм (συλλογισμός) – логическое умозаключение, где из двух посылок следует вывод.

Ход доказательства (р. 41a26)

1. Допущение (ὑπόθεσις): диагональ соизмерима со стороной (ἡ διαγώνιος σύμμετρος τῇ πλευρᾷ).

2. Следствие: тогда их отношение выражается отношением целых чисел (ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν).

3. Приведение к противоречию:

– Если взять наименьшие взаимно простые числа (πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους), их квадраты тоже взаимно просты.

– Но по теореме Пифагора, квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны ⇒ одно число должно быть и чётным, и нечётным (ἄρτιον ἴσον περισσῷ).

4. Вывод: допущение ложно ⇒ диагональ несоизмерима.

Логическая структура

– Гипотетический силлогизм:

– Если A (соизмеримость), то B (чётное = нечётному).

– Но B ложно ⇒ A ложно.

– Пример (схематично):

– Допустим, √2 = m/n (m, n взаимно просты).

– Тогда 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² чётно ⇒ m чётно.

– Но тогда n² = m²/2 ⇒ n² чётно ⇒ n чётно.

– Противоречие: m и n не могут быть оба чётными, если они взаимно просты.

Заключение

Аристотель показывает, что доказательство через невозможное опирается на:

1. Опровержение допущения (ἔλεγχος).

2. Утверждение противоположного (ἀντίφασις) по закону исключённого третьего.

Этот метод – частный случай гипотетических силлогизмов, но сводится к трём фигурам категорических умозаключений.

Пример из логики:

– Если все люди смертны (A), а Сократ – человек (B), то Сократ смертен (Г).

– В доказательстве от противного: Если C ложно, то либо A, либо B ложно.

Аналогично в геометрии: Если √2 рационален, то чётное = нечётному – но это абсурд, значит, √2 иррационален.

р. 41a37 Подобным же образом и все остальные [силлогизмы] из предположения.

Показав, как силлогизмы через невозможное, будучи из предположения, подводятся под три упомянутых ранее схемы, он говорит, что точно так же обстоит дело и со всеми остальными силлогизмами из предположения. Ведь так же, как в случае силлогизмов через невозможное, умозаключение относится к предположенному, которое, будучи принято вместо того, что мы хотим доказать, мы полагаем противоположным ему, и, доказав из него и из одного из данных [положений], строим силлогизм, – точно так же, говорит он, происходит и в остальных случаях силлогизмов из предположения. Ибо умозаключение относится к принятому [вместо искомого], будучи доказательным, а принятым называется то, доказательство и силлогизм о котором строится, – а это иногда бывает противоположным исследуемому, как в доказательстве через невозможное, иногда – взятым по соглашению, а иногда – тем, что новейшие [логики] называют присоединённым. Таким образом, силлогизм строится об этом [принятом], а первоначально исследуемое доказывается либо через некоторое соглашение, либо через другое предположение (ибо соглашение тоже есть предположение). Например, если исследуется, «могут ли противоположности сосуществовать или нет», и мы договоримся и согласимся друг с другом, что если это верно для одной из противоположностей, то верно и для всех, затем, взяв противоположности, докажем посредством силлогизма, что они не могут сосуществовать, приняв, что противоположности разрушают друг друга, а разрушающие друг друга не могут сосуществовать, – следовательно, противоположности не могут сосуществовать. В этом случае силлогизм получился категорический и доказательный относительно принятого вместо первоначально исследуемого. Ибо было положено, что «если противоположности могут сосуществовать», а вместо этого приняты противоположности, и о них было дано доказательство и силлогизм. А первоначально исследуемое после такого доказательства утверждается силлогистически через соглашение, поскольку мы договорились и согласились, что если это будет доказано для одной из противоположностей, то будет верно и для всех. В приведении к невозможному мы не нуждались в таком соглашении, а лишь в чистом предположении противоположного; но природа противоречия сама по себе есть причина того, что исследуемое доказывается через обнаружение невозможности выведенного.

Другими видами предположения, как он сказал, могут быть и те, которые новейшие [логики] хотят называть единственно силлогизмами. Это те, которые образуются через тропическое [условное] и присоединение, где тропическое есть либо связное, либо разделительное, либо сложное, – а древние называли их смешанными из гипотетической и доказательной, то есть категорической, посылки. Например, если положено связное условное: «если добродетель есть знание, то она учима», затем доказывается, что добродетель есть знание, – тогда будет доказано, что она учима. Ибо так оно и принимается: если доказано, что [добродетель] есть знание. В этом случае силлогизм снова будет категорическим относительно этого [принятого]. Например: «Всякое устойчивое состояние, не переходящее от истины к лжи, есть знание; добродетель же есть устойчивое состояние, не переходящее от истины к лжи; следовательно, добродетель есть знание». Ведь иначе нельзя было бы утверждать, что добродетель есть знание, кроме как через категорический силлогизм. А после того, как это доказано силлогистически, первоначальное [утверждение] подтверждается через предположение, ибо в условном было предположено: «если добродетель есть знание, то она учима». Если бы присоединяемое не нуждалось в доказательстве, а было бы ясным и известным, как и само условное, то такой аргумент уже не был бы силлогизмом. Ведь такой аргумент изначально не требует никакого силлогизма, ибо силлогизм должен доказывать то, что без умозаключения не является известным.

Условное же, как известное, в гипотетических [силлогизмах], которые называют тропическими, принимается и полагается – в тех случаях, когда это так. Остаётся, чтобы присоединяемое было спорным, как говорит Теофраст, и нуждалось в доказательстве. И вот, силлогизм, доказывающий, что это так, будет категорическим и доказательным, так что и в гипотетических силлогизмах из связного условного подтверждаемое и требующее доказательства доказывается через категорический силлогизм, а первоначально исследуемое доказывается не через силлогизм, а через предположение, которое было положено. А этим [предположением] было условное. Ведь невозможно доказать, что нечто есть то-то или такое-то, или вообще подтвердить и утвердить что-либо надёжно, кроме как через категорический силлогизм.

И если само условное нуждается в силлогистическом доказательстве, то и оно будет доказано через категорический силлогизм. Например, если исследуется, почему, если добродетель есть знание, она учима, то, взяв общее положение «всякое знание учимо», а также что «добродетель есть знание», получим категорический силлогизм.

Древние, кажется, различали «принимаемое вместо» и «присоединяемое». В тех случаях, когда принимаемое содержится в данных [посылках], но не в таком виде и не так, как принимается, – в этих случаях принимаемое называется «принятым вместо». Ибо оно не прибавляется извне, а берётся иначе и преобразуется в другое. Например, в условном «если день, то свет» утверждение «есть день», которое новейшие называют присоединяемым, содержится [в посылках], но не в таком виде, в каком принимается: в условном оно полагается в предположении и следствии, а принимается как существующее. В таких случаях говорят, что происходит «замена». Ибо положенное принимается не так, как было положено: положенное в отношении, следствии и предположении преобразуется в утверждение существования. «Присоединяемым» же они называют то, что к данным [посылкам] прибавляется извне, потенциально в них содержащееся, но не актуально, – как в силлогизмах через присоединение. Например, в [посылке] «что сказывается о В, то сказывается и об А, а о Γ сказывается В», утверждение «о Γ сказывается В» присоединено извне, ибо в посылке «что сказывается о В, то сказывается и об А» не содержится актуально утверждение «о Γ сказывается В». Однако они используют и присоединение вместо замены.

То же самое рассуждение применимо и к разделительному [силлогизму] «либо то, либо это», который тоже называют тропическим и через присоединение. Ибо какое бы из них ни принималось как нуждающееся в доказательстве, оно требует категорического силлогизма для доказательства. Например, если взято разделительное «либо тело, либо душа, либо бестелесное», затем доказывается, что не тело (ибо так было бы присоединено: «но ведь не тело, следовательно, бестелесное»), то и само [утверждение] должно быть доказано через категорический силлогизм, например: «всякое тело есть либо элемент, либо из элементов; душа же ни элемент, ни из элементов; следовательно, душа не есть тело».

То же и в случае сложного отрицательного [силлогизма], если он действительно является другим из рассматриваемых видов, а не тем же самым, что и условный, начинающийся с утвердительного и заканчивающийся отрицательным, например: «если А, то не В». И в этих случаях, если принимаемое нуждается в доказательстве, оно будет доказано через категорический силлогизм. Например: «не может быть, чтобы удовольствие было целью и добродетель выбиралась ради себя самой; но добродетель выбирается ради себя самой; следовательно, удовольствие не есть цель». Ибо принимаемое «добродетель выбирается ради себя самой» доказывается через категорический силлогизм: «то, обладание чем делает самого обладателя наилучшим и наилучшим образом исполняющим свойственную ему функцию, выбирается ради себя самого; добродетель же есть обладание, делающее самого обладателя наилучшим и наилучшим образом исполняющим свойственную ему функцию; следовательно, добродетель выбирается ради себя самой».

Если же то же самое взято гипотетически таким образом: «если удовольствие есть цель, то добродетель не выбирается ради себя самой», то и следствие может быть доказано через подобный силлогизм: «всё, что выбирается как производящее нечто, не выбирается ради себя самого; если удовольствие есть цель, то добродетель выбирается как производящая удовольствие; следовательно, если удовольствие есть цель, то добродетель не выбирается ради себя самой».

Он говорит, что и сам [силлогизм] строится относительно принимаемого. Но не может быть силлогизма о самом следствии или противоречии, ибо доказательство в этих случаях служит для утверждения предположения, а гипотетический силлогизм строится на чём-то положенном, так что доказательство предположения не входит в гипотетические силлогизмы. Ведь то, что называют тропическим, во всех случаях принимается как очевидное через предположение и соглашение.

Чаще же всего нуждаются в доказательстве принимаемые и присоединяемые [положения], если вообще такие аргументы полезны. Ибо там, где принимаемое не нуждается в доказательстве, и получающееся [умозаключение] не есть силлогизм, раз всё очевидно. Но если [принимаемое] нуждается в доказательстве, то, если оно берётся без доказательства, ничего не доказано и не получилось никакого силлогизма; а если доказывается, то требуется категорический силлогизм. Ведь предположение само по себе не помогает подтвердить что-либо, если мы, преобразовав нечто из данных [посылок], не подтвердим это категорически, и через его подтверждение не подтвердится и следующее из него.

Бесполезно для доказательства и утверждения чего-либо как существующего всё это гипотетическое построение силлогизмов. Ибо через них не доказывается ни что что-либо принадлежит или не принадлежит чему-либо, ни в общем, ни в частном, – а это, как он сказал, есть свойство силлогизма. Поэтому и рассуждение через три [термина] может быть правильным, как показано, но не называется просто силлогистическим.

Таким образом, и гипотетическим аргументам полезность и силлогистичность приходят от категорических силлогизмов. Потому те [категорические] суть силлогизмы просто, а эти [гипотетические] – не просто, а всё это вместе называется силлогизмами из предположения. Ибо категорические [силлогизмы] не нуждаются ни в каких предположениях, чтобы доказать исследуемое (потому они и называются просто силлогизмами, довлея сами себе), а гипотетические без них ничего не доказывают.

Следовательно, если все силлогизмы из предположения строятся через категорические силлогизмы, а все категорические – через три схемы, то все силлогизмы сводятся к трём схемам. А если так, и все силлогизмы, получающиеся в них, сводятся к двум первым в первой схеме, то будет доказано, что все силлогизмы сводятся к этим двум.

К гипотетическим [силлогизмам] можно отнести и те, что строятся от большего, подобного и меньшего. Ибо в них также одно предполагается, а другое принимается вместо, и для него требуется категорический силлогизм. Ведь все [силлогизмы], в которых что-то принимается вместо, суть гипотетические. И в этих [силлогизмах] тоже происходит замена. Например: «если большее благо чего-то не является производящим счастье, то и меньшее; здоровье же, будучи большим благом, чем богатство, не производит счастья» – ибо это принимается вместо и требует категорического доказательства. Подобно и в случае: «если меньшее благо выбирается ради себя самого, то и большее; богатство же, будучи меньшим благом, чем здоровье, выбирается ради себя самого» – здесь опять принимаемое вместо нуждается в категорическом доказательстве. Таков же и [силлогизм] от подобного.

Аристотель особо называет [силлогизмы] от большего, меньшего и подобного «качественными», а те, что называются через присоединение (каковы смешанные), – «через замену», как мы узнаем по ходу рассуждения.»

Дополнение к р. 41a37

1. Силлогизмы из предположения (ἐξ ὑποθέσεως) включают:

– Доказательство через невозможное (διὰ τοῦ ἀδυνάτου) – принимается противоположное тезису, выводится противоречие.

– Условные силлогизмы (τροπικοί) – связные («если А, то В»), разделительные («либо А, либо В»), сложные.

– Присоединение (πρόσληψις) – добавление новой посылки для вывода.

2. Роль категорического силлогизма (κατηγορικός):

– Любой гипотетический аргумент сводится к категорическому. Например:

– Условный: «Если добродетель – знание (ἐπιστήμη), то она учима».

– Категорический: «Всякое знание учимо; добродетель – знание → она учима».

3. Примеры логики:

– Через невозможное:

– Тезис: «Противоположности не сосуществуют».

– Предполагаем обратное → выводим противоречие.

– Разделительный:

– «Либо тело (σῶμα), либо душа (ψυχή), либо бестелесное».

– Доказываем «не тело» → остается «бестелесное».

4. Ключевое отличие:

– Категорические силлогизмы самодостаточны.

– Гипотетические требуют внешнего предположения (ὑπόθεσις) и сводятся к категорическим.

Вывод: Все силлогизмы из предположения опираются на три фигуры категорических силлогизмов (ср. Analytica Priora).

КРАТКИЕ ПРИМЕРЫ

1. Условный:

– Если день (ἡμέρα), то свет (φῶς). День есть → свет есть.

– Категорическое доказательство: «Свет сопровождает день; сейчас день → есть свет».

2. Через присоединение:

– Посылка: «Что сказывается о В, то и об А».

– Присоединяем: «О Γ сказывается В» → вывод: «О Γ сказывается А».

3. От большего/меньшего:

– «Если здоровье (ὑγίεια) – большее благо, чем богатство (πλοῦτος), и не даёт счастья (εὐδαιμονία), то богатство – тем более».

– Категорически доказываем: «Здоровье не производит счастья».

Таким образом, гипотетические силлогизмы – лишь «надстройка» над категорическими, которые являются основой логики.

p. 41b6 Еще во всяком [силлогизме] необходимо, чтобы один из терминов был категорическим и чтобы общее присутствовало.

Что невозможно из двух отрицательных посылок получить силлогизм, он говорит, напоминая нам о доказанном: ибо необходимо, говорит он, чтобы один из терминов был категорическим, то есть чтобы хотя бы одна из посылок была утвердительной, если должен возникнуть силлогизм. Это он показал, что так обстоит во всех фигурах, доказав, что сочетания из двух отрицательных [посылок] не дают силлогизма. Ведь даже в тех случаях, где, казалось бы, [силлогизм возможен], как в случае возможных [суждений], во-первых, возможные [суждения] – не просто отрицания, а затем, при преобразовании – либо обоих, либо одной из них в утвердительную – получался силлогизм, иначе же нет.

Он говорит также, что необходимо, чтобы общее присутствовало, то есть чтобы была взята общая посылка, если должен возникнуть силлогизм. Что, конечно, из двух частных посылок ни в одной из фигур не возникает силлогистического сочетания, и даже из неопределенных, он уже показал. Теперь же, сказав, что силлогизма не будет, он добавил: «или не по отношению к поставленному [вопросу]», как если бы нечто могло быть силлогистически выведено и без взятия общей посылки, но не относящееся к поставленному [вопросу].

Это не означает, что из двух частных [посылок] возможно получить силлогизм, но что [это возможно] из не-общего. «Не-общее» двояко: оно означает и частное, и (то, что) не является общим по отношению к поставленному [вопросу]. Ибо нечто, будучи общим иначе, может не охватывать поставленного [вопроса] и не быть общим по отношению к нему.

Когда же берется нечто общее, но не как относящееся к поставленному [вопросу] и не охватывающее его, а, например, взятое общее относится к части сказуемого в проблеме, то хотя силлогизм из такого [суждения] не невозможен – очевидно, при добавлении некоторой более частной посылки, подчиненной ему, – но поставленный [вопрос] не будет доказан, как он поясняет на примере.

Пусть, например, требуется доказать, что музыкальное удовольствие прекрасно. Если кто-то возьмет неопределенно, что удовольствие прекрасно, желая доказать поставленное – что всякое музыкальное удовольствие прекрасно, – не добавив «всякое», так чтобы посылка была «всякое удовольствие прекрасно», а затем, присоединив «но музыкальное удовольствие», выведет «следовательно, музыкальное удовольствие прекрасно», он не построит силлогизма, ибо неопределенное принимается как равнозначащее частному.

Поскольку [посылка] не является общей (ибо если бы она была взята как общая, она охватывала бы и музыкальное удовольствие), силлогизма не получится. Ведь таким образом берутся две частные [посылки].

Если же кто-то, определив некий вид удовольствия, возьмет его как общее, он не сможет вывести поставленное [заключение]. Ибо ничто из противопоставленного музыкальному удовольствию не охватывается удовольствием, относящимся к музыкальному. Поэтому если он возьмет иной вид удовольствия, он построит некоторый силлогизм и заключение, но не относящееся к поставленному [вопросу].

Пусть, например, взято: «всякое удовольствие от созерцания прекрасно». Если к этой посылке мы добавим «а удовольствие от геометрии есть удовольствие от созерцания», то будет выведено, что удовольствие от геометрии прекрасно, но это не будет силлогизмом поставленного [вопроса].

Если же кто-то возьмет именно это, сказав: «всякое музыкальное удовольствие прекрасно», он потребует самого исходного [положения].

Следовательно, необходимо взять нечто общее, относящееся к музыкальному удовольствию.

То же самое и если кто-то, желая доказать, что все прекрасное как благо достойно почитания, возьмет неопределенно, что благо достойно почитания, не добавив «все», он не построит силлогизма, ибо неопределенное принимается как частное.

Но даже если он возьмет нечто из подчиненных благу, противопоставленных прекрасному, как общее, и таким образом поставленное [заключение] не будет выведено. Однако ничто не помешает вывести иное заключение.

Например, если он возьмет: «все божественное благо достойно почитания» и добавит «а солнце есть божественное благо», то [выведет] «следовательно, солнце достойно почитания».

Но он докажет через силлогизм, что прекрасное как благо достойно почитания, только если возьмет нечто общее, относящееся к такому благу, как достойное почитания.

Ибо если он возьмет «все благо достойно почитания» и добавит «а прекрасное как благо есть благо», то он таким образом докажет поставленное через силлогизм.

Если же он снова возьмет как общее «все прекрасное как благо достойно почитания», он потребует самого исходного [положения], как и в случае с музыкальным удовольствием было сказано.

Выражение «или не по отношению к поставленному» может пониматься не как то, что силлогизм будет, но не относящийся к поставленному [вопросу], а как то, что взятая частная посылка вообще не связывается с тем, что требуется доказать.

И этому, возможно, соответствует и последующее сказанное: «если же [возьмем] некоторое удовольствие, если иное, то это ничего не дает для рассуждения».

Посылка будет относиться к поставленному [вопросу], но не будет силлогистической, если общее поставленного [вопроса] взято неопределенно.

Если же взято не общее, а нечто из подчиненных общему, или само это, то либо она вообще не свяжется с поставленным [вопросом], если берется иное, а не само поставленное, либо, если берется само, потребуется исходное [положение].

Но ничто из сказанного не является силлогистическим.

Г этим, по-видимому, лучше согласуется и доказательство на диаграмме.

Более же, говорит он, это становится ясным на диаграммах: он имеет в виду, что силлогизм не возникает и поставленное не доказывается, если не взята общая посылка.

Дополнение к p. 41b6

1. Категоричность (κατηγορικός) – хотя бы одна посылка должна быть утвердительной (не две отрицательные).

Пример:

– «Ни один человек не есть камень» (отрицательная) + «Ни один камень не живет» (отрицательная) → нет вывода.

– «Все люди смертны» (утвердительная) + «Сократ – человек» → «Сократ смертен».

2. Общность (καθόλου) – хотя бы одна посылка должна быть общей (не две частные).

Пример:

– «Некоторые животные – собаки» (частная) + «Некоторые собаки лают» (частная) → нет вывода.

– «Все люди разумны» (общая) + «Сократ – человек» → «Сократ разумен».

3. Отношение к поставленному вопросу (πρὸς τὸ κείμενον) – общая посылка должна охватывать предмет вывода.

– Пример (ошибка):

– «Всякое созерцательное удовольствие прекрасно» (общее, но не о музыке) + «Геометрия – созерцательное удовольствие» → вывод не о музыкальном удовольствии.

– Правильно:

– «Всякое удовольствие прекрасно» (общее, включая музыкальное) + «Музыкальное удовольствие – удовольствие» → «Музыкальное удовольствие прекрасно».

Логика примера (по Аристотелю)

– Ошибка: неопределенная посылка («удовольствие прекрасно» = «некоторое удовольствие прекрасно») ведет к частному выводу, а не к общему.

– Решение: только общая посылка («всякое удовольствие прекрасно») дает силлогистический вывод.

Вывод: Силлогизм требует (1) утвердительной посылки (κατηγορικός) и (2) общей посылки (καθόλου), относящейся к поставленному вопросу (πρὸς τὸ κείμενον). Иначе вывод либо невозможен, либо неверен.

p.41b14 Например, что у равнобедренного [треугольника] углы при основании равны.

Нужно доказать, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны между собой. Евклид в первой книге «Начал» доказывает это с помощью пятого постулата, используя другое доказательство. Аристотель же доказывает это иначе, и доказательство таково:

Пусть есть круг ABΓΔ, и его центр – точка E. Проведём из центра к окружности прямые, пересекающие друг друга, а именно AE и BE, которые, очевидно, являются диаметрами круга. Соединим AB. Тогда AB будет основанием треугольника EAB. Углы при его основании – это углы AΓ и BΔ.

Поскольку каждый из углов ΔΓ и BΔ является углом полукруга, они равны между собой. Ибо углы равных полукругов равны, так как они совмещаются друг с другом. Те же углы, которые отсекаются основанием треугольника и дугой окружности, равны между собой, поскольку они находятся в одном и том же сегменте. Ведь углы в одном и том же сегменте равны между собой, и вообще углы равных сегментов равны.

Следовательно, оставшиеся углы при основании, отсекаемые основанием и каждой из сторон треугольника, равны между собой. Ибо если от равных отнять равное, то остатки будут равны. А стороны треугольника, под которыми лежат равные углы, равны между собой, так как обе они проведены из центра.

Таким образом, у равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой.

Если же кто-то, желая доказать это, возьмёт угол AΓ равным углу BΔ, не доказав заранее, что углы равных полукругов равны, то он будет принимать искомое в начале доказательства.

Или если он докажет это, то есть что целое равно целому, и возьмёт углы, отсекаемые дугой окружности и основанием треугольника, равными друг другу (Γ и Δ), отняв их от прямых углов полукругов, но не докажет заранее, что углы равных сегментов равны (ведь углы равных сегментов равны, потому что сегменты совмещаются друг с другом, как и полукруги, поэтому их углы равны; а общим сегментом двух полукругов, отсечённых диаметрами A и B, является сегмент под основанием треугольника; он, конечно, равен самому себе и совмещается, поскольку от каждого отнято нечто, как бы двойное; следовательно, его углы также равны между собой), – то если кто-то возьмёт углы в сегменте равными, не доказав, почему они равны, он снова будет принимать искомое в начале, а не доказывать его.

Или если он докажет и это, но возьмёт оставшийся угол равным углу Z, то и так он примет искомое в начале, но не докажет его, если не положит без доказательства то положение, что если от равных отнять равное, то остатки равны между собой.

Он говорит, что остатки от углов полукругов – это E и Z, так что целые углы полукругов – это AΓ и BΔ, отнятые от них углы сегмента – Γ и Δ, а оставшиеся от них – E и Z, которые содержатся между основанием и каждой из сторон и являются углами при основании, о которых сейчас нужно доказать, что они равны.

Тогда по необходимости он будет принимать искомое, если берёт без доказательства то, что требует доказательства. Ибо он будет постулировать, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, но не докажет этого.

Дополнение к p.41b14

Суть доказательства:

Аристотель доказывает равенство углов при основании равнобедренного треугольника (ἰσοσκελὲς τρίγωνον) через свойства круга (κύκλος) и его сегментов, избегая прямого использования постулатов Евклида.

Ключевые шаги:

1. Построение:

– Берётся круг с центром E и диаметрами AE, BE.

– Основание треугольника AB соединяет точки на окружности.

– Углы при основании – ∠EAB и ∠EBA.

2. Равенство углов полукруга (ἡμικύκλιον):

– Углы ∠AΓ и ∠BΔ – прямые (по теореме Фалеса), так как опираются на диаметр.

– Полукруги равны → их углы равны (∠AΓ = ∠BΔ).

3. Равенство углов сегмента (τμῆμα):

– Углы ∠Γ и ∠Δ лежат в одном сегменте (под хордой AB) и равны (∠Γ = ∠Δ).

4. Вычитание равных величин:

– От равных углов полукругов отнимаются равные углы сегмента:

\ [

∠AΓ – ∠Γ = ∠BΔ – ∠Δ \quad ⇒ \quad ∠EAB = ∠EBA.

\]

Логика (с примерами):

Аристотель критикует порочный круг в доказательстве, если:

– Без обоснования берётся равенство углов сегментов (принимается искомое).

– Не доказывается, что «от равного отнято равное → остатки равны» (пример: если 10 – 3 = 10 – 3, то 7 = 7, но это надо обосновать).

Вывод: Доказательство должно опираться на ранее установленные истины, а не на сам доказываемый факт.

р. 41b23 И что общее доказывается из общих посылок.

Показав, что во всяком силлогизме необходимо должна быть некоторая общая посылка, он напоминает нам также и о том, что если заключение будет общим, то необходимо, чтобы обе посылки были взяты как общие. Иначе не может получиться общее заключение. Однако если обе посылки будут общими, то еще не обязательно, чтобы и заключение было общим, ибо иногда получается частное заключение и из общих посылок, как было показано в случае третьей фигуры.

p. 41b27 Ясно также, что во всяком силлогизме

И это напоминает нам, что во всяком силлогизме необходимо, чтобы обе посылки были подобны заключению или по крайней мере одна из них. В утвердительном [силлогизме] – обе (ибо иначе не получится утвердительное заключение, если только обе посылки не будут утвердительными), а в отрицательном – одна. Ведь ни из двух утвердительных [посылок] не получится отрицательное заключение, ни из двух отрицательных, ибо вообще силлогизм никогда не может состоять из двух отрицательных посылок.

Он говорит, что не только в отношении утвердительного и отрицательного необходимо, чтобы обе посылки были подобны заключению или по крайней мере одна из них, но также и в отношении необходимого, присущего и возможного. Ведь не может получиться необходимое заключение, если ни одна из посылок не является необходимой, как он говорит (но необходимо, чтобы либо обе были необходимы, либо по крайней мере одна, и именно большая). Точно так же и в случае присущего и возможного: подобным же образом и для присущего заключения, и для возможного посылки будут иметь тот же характер.

Как же он сказал, что в смешанных [силлогизмах] из необходимой отрицательной общей и возможной утвердительной получается присущее отрицательное заключение?

Дополнение к р. 41b23, 41b27

Аристотель подчеркивает строгую зависимость между типом посылок и характером заключения, включая их общность, качество (утверждение/отрицание) и модальность.

1. Общее заключение (καθόλου συμπέρασμα) требует общих посылок (καθόλου προτάσεις).

– Пример:

– Все люди смертны (καθόλου).

– Все греки – люди (καθόλου).

→ Все греки смертны (καθόλου).

– Но из общих посылок может следовать частное заключение (ἐν μέρει) (например, в 3-й фигуре силлогизма).

2. Структура посылок должна соответствовать заключению:

– Утвердительный силлогизм (καταφατικός) требует двух утвердительных посылок.

– Отрицательный силлогизм (ἀποφατικός) требует одной отрицательной посылки (две отрицательных не дают вывода).

3. Модальности (ἀναγκαῖον, ἐνδεχόμενον, ὑπάρχον):

– Для необходимого заключения (ἀναγκαῖον) нужна хотя бы одна необходимая посылка (предпочтительно большая).

– Аналогично для возможного (ἐνδεχόμενον) и присущего (ὑπάρχον).

Пример по логике (р. 41b23 и далее):

– Смешанный силлогизм:

– Посылка 1 (необходимая, отрицательная): Ни один человек не есть камень (ἀναγκαῖον, ἀποφατική).

– Посылка 2 (возможная, утвердительная): Все художники могут быть людьми (ἐνδεχόμενον, καταφατική).

→ Заключение (присущее, отрицательное): Некоторые художники не есть камни (ὑπάρχον, ἀποφατικόν).

p. 41b31

Следует также рассмотреть и другие категории. Под «другими категориями» можно понимать те, которые отличаются от уже упомянутых способов. Таковыми они будут, если заключение ложно или невозможно. Ибо обе посылки должны быть ложными или по крайней мере одна из них. Точно так же, если заключение невозможно, то либо обе посылки, либо по крайней мере одна из них необходимо должны быть невозможными, поскольку невозможное следует из невозможного, а ложное – из ложного. Однако если заключение истинно, это не означает, что и посылки обязательно истинны – ни обе, ни одна из них: ибо из двух ложных посылок иногда можно вывести истинное заключение, как будет показано. Именно поэтому сказано, что следует рассмотреть и другие категории, чтобы понять, в каких случаях это необходимо: ведь не во всех случаях это происходит одинаково. Также, если заключение правдоподобно или неправдоподобно, то и посылки или некоторые из них должны быть таковыми. И если заключение неочевидно, то и одна из посылок будет неочевидной: если бы кто-то, например, доказывал, что звёзды чётны по числу, исходя из того, что полушария содержат равное количество звёзд, он бы делал неочевидный вывод из неочевидного. Точно так же, если заключение относится к тому, что бывает по большей части, или к природе, или к выбору, то и посылки или хотя бы одна из них будут таковыми. Под «категориями» можно также понимать роды: если доказываемое и заключение относятся к качеству, то необходимо, чтобы и посылка была такого рода; аналогично – если речь о количестве или отношении. То же самое рассуждение применимо и к другим категориям.

Дополнение к p. 41b31

Аристотель анализирует связь между посылками (προτάσεις, protaseis) и заключением (συμπέρασμα, symperasma) в логических умозаключениях.

Ключевые мысли:

1. Ложное/невозможное заключение (ψεῦδος/ἀδύνατον, pseudos/adynaton):

– Если вывод ложен/невозможен, то обе посылки или одна тоже ложны/невозможны.

– Пример: «Все птицы – рыбы (ложь), все пингвины – птицы (истина) → пингвины – рыбы (ложь)».

2. Истинное заключение (ἀληθές, alethes):

– Истинный вывод не гарантирует истинности посылок: они могут быть ложными.

– Пример: «Все растения – животные (ложь), все розы – растения (истина) → розы – животные (ложь)» (но возможны случаи, где вывод истинен при ложных посылках).

3. Правдоподобие (εἰκός, eikos) и очевидность (ἐναργές, enarges):

– Если вывод неправдоподобен/неочевиден, то и посылки таковы.

– Пример: «Полушария содержат равное число звёзд (неочевидно) → звёзд чётное число (неочевидно)».

4. Категории (κατηγορίαι, kategoriai) как роды:

– Если вывод о качестве (ποιόν, poion), количестве (ποσόν, poson) или отношении (πρός τι, pros ti), то посылки должны соответствовать этой категории.

Заключение (ἐπίλογος, epilogos):

Логическая связь между посылками и выводом зависит от типа категории и истинностного статуса.

– Ложное → ложное (необходимо).

– Истинное → не обязательно истинное (возможны парадоксы).

– Категории определяют структуру аргумента.

Пример по категориям:

– «Если Сократ – человек (качество), а все люди смертны (качество), то Сократ смертен (качество)».

p. 41b32

Ясно также, когда силлогизм будет простым, а когда не будет.

«Простой» здесь означает «универсальный». Ведь очевидно, что в случае универсального [силлогизма] ясно, при каких условиях и как, при взятии тех или иных посылок, силлогизм получится, а при каких – нет: это было показано для каждой фигуры.

p. 41b33

А также когда он возможен и когда совершенен.

«Возможным» он называет несовершенный силлогизм, который ещё не явно является силлогизмом, но может стать таковым – либо через обращение, либо через приведение к невозможному: ведь именно таким способом несовершенные силлогизмы доводятся до совершенства. То, что он понимает «возможное» именно так, ясно из добавления слова «совершенный». Также очевидно, что если есть силлогизм, то посылки необходимо должны быть взяты одним из упомянутых способов: он будет либо в первой, либо во второй, либо в третьей фигуре. Все силлогизмы, как было показано, возникают в этих фигурах, и в каждой фигуре – в одной из доказанных комбинаций. Даже если силлогизм сложный и строится через несколько средних терминов, всё равно его построение и анализ будут происходить через одну из этих фигур.

Дополнение к p. 41b32, 41b33

Аристотель систематизирует анализ силлогизмов через структуру (фигуры) и преобразования (обращение, reductio).

1. Простой (ἁπλοῦς) силлогизм = универсальный (καθόλου), где чётко видно, при каких посылках он получается (по фигурам, Anal. Pr. I.4—6).

– Пример: Все люди смертны (A → B), Сократ – человек (B → C) ⇒ Сократ смертен (A → C).

2. Возможный (δυνατός) силлогизм = несовершенный (ἀτελής), который становится совершенным (τέλειος) через:

– Обращение (ἀντιστροφή) или

– Приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

– Пример: Несовершенный: «Некоторые птицы не летают» → через обращение становится явным.

3. Все силлогизмы сводятся к трём фигурам (σχήματα) и их комбинациям, даже сложные (с цепью терминов).

p. 41b36

Ясно также, что всякое доказательство осуществляется через три термина и не более, если только одно и то же заключение не получается через разные [цепочки терминов].

Здесь он называет доказательством силлогизм в более общем смысле. Он показывает, что всякий силлогизм строится через три термина и не более, то есть через две посылки. Это он говорит о непосредственных [посылках], ибо в сложных [силлогизмах] посылок больше, но не непосредственных. Все [силлогизмы] строятся через две непосредственные посылки и три термина, и не более, если только одно и то же заключение не доказывается через разные средние термины. Например, если кто-то поставит целью доказать, что всякое удовольствие есть благо, и каждый раз будет брать разные средние термины для доказательства этого, то, поскольку заключение одно и то же, может показаться, что это один и тот же силлогизм. Но поскольку заключение получается не через те же самые средние термины и не через те же самые посылки, силлогизмы будут разными, и их будет столько, сколько раз менялись средние термины. Ведь не один и тот же силлогизм – тот, который говорит: «Всякое удовольствие есть предмет стремления, всякий предмет стремления есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо», и тот, который говорит: «Всякое удовольствие согласно с природой, всё согласно с природой есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо». И ни один из них не совпадает с тем, который берёт: «Всякое удовольствие возникает через искусство, всё возникающее через искусство есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо». Хотя во всех этих случаях заключение одно и то же. Точно так же, если кто-то доказывает противоположное – что никакое удовольствие не есть благо, – то иногда через: «Всякое благо полезно, никакое удовольствие не полезно, следовательно, никакое удовольствие не есть благо», а иногда через: «Всякое удовольствие несовершенно (если оно движение, а движение есть несовершенная деятельность), ничто несовершенное не есть благо, следовательно, никакое удовольствие не есть благо». И здесь одно и то же заключение доказывается через разные термины и посылки. Поэтому силлогизмов несколько, а не один. Так и Платон доказывает бессмертие души то через то, что учение есть воспоминание, то через то, что душа не принимает противоположного, поскольку несёт в себе противоположное тому, то через то, что душа не разрушается чужой порочностью, поскольку не разрушается собственной, а то через то, что душа самодвижна. Ведь одно и то же он доказывает через несколько средних терминов, поэтому силлогизмов несколько.

Дополнение к p. 41b36

Аристотель утверждает, что доказательство (ἀπόδειξις, apodeixis) всегда строится через три термина (ὅροι, horoi) и две посылки (προτάσεις, protaseis), если только одно заключение не выводится разными путями.

Ключевые моменты:

1. Три термина:

– Больший (μέγιστον, megiston) – предикат вывода.

– Меньший (ἐλάχιστον, elachiston) – субъект вывода.

– Средний (μέσον, meson) – связующее звено.

2. Одно заключение – разные пути:

Если вывод (συμπέρασμα, symperasma) один, но средние термины разные, это разные силлогизмы (συλλογισμοί, syllogismoi).

Примеры (παραδείγματα, paradeigmata):

1. Доказательство «удовольствие – благо»:

– Через стремление:

Удовольствие → стремление → благо.

– Через природу:

Удовольствие → согласие с природой → благо.

– Через искусство:

Удовольствие → создано искусством → благо.

2. Отрицание («удовольствие – не благо»):

– Через полезность:

Благо → полезно; удовольствие → не полезно.

– Через несовершенство:

Удовольствие → движение → несовершенство → не благо.

3. Платон о бессмертии души:

– Через воспоминание (анамнезис).

– Через неприятие противоположного.

– Через самодвижность (αὐτοκίνητον, autokineton).

Вывод (ἐπίλογος, epilogos):

Один вывод может иметь множество силлогизмов, если меняется средний термин. Логическая структура зависит не от заключения, а от связи терминов.

Формула:

– Если А → Б → В (силлогизм 1),

и А → Г → В (силлогизм 2),

то это два разных доказательства.

Пример из текста:

– «Удовольствие → стремление → благо» ≠ «Удовольствие → природа → благо».

р. 41b38 Например, вывод Е через посредство А и В, а также через посредство Г и Δ.

Е обозначает заключение, а А, В и Г, Δ – различные посылки, через которые доказывается Е, иногда через посылки А и В, иногда через посылки Г и Δ. Пусть, например, заключением будет «ничто постыдное не есть прекрасное», обозначаемое как Е. Оно выводится иногда через посылки «ничто прекрасное не есть дурное, а всё постыдное есть дурное» – это силлогизм во второй фигуре, где первая посылка – А, вторая – В.

То же самое доказывается через посылки «всё прекрасное есть благо, ничто постыдное не есть благо»: из них также выводится «ничто постыдное не есть прекрасное», то есть Е, во второй фигуре. Здесь первая посылка – Г, вторая – Δ.

Или же: «всё постыдное есть то, чего следует избегать, ничто, чего следует избегать, не есть прекрасное» – из них также выводится в первой фигуре, что «ничто постыдное не есть прекрасное».

То, что он добавил – «через А и В, а также через А, Г и В, Г» – показывает, что можно брать и другие средние термины, так что не только два, но и больше доказательных силлогизмов могут приводить к одному и тому же заключению. Ведь Е может доказываться иногда через посылки А и В, иногда через А и Г, иногда через В и Г.

Последующие примеры могут служить доказательством иного рода: возможность образования нескольких силлогизмов для одного и того же вывода не только при взятии разных средних терминов в разное время, но и при одном и том же среднем термине, но по-разному. Это и показывает приведённый пример. Ведь, используя один и тот же средний термин, можно иногда вывести предложенное заключение в первой фигуре, иногда – во второй, иногда – в третьей. И очевидно, что силлогизмы будут различаться, поскольку они относятся к разным фигурам.

Это он говорит, чтобы показать, что различаются не только силлогизмы с разными средними терминами и посылками, но даже при тех же самых терминах и тех же самых выводах изменение положения среднего термина и его порядка создаёт различие в силлогизмах.

Так, через А и В он говорит о первой фигуре, через А и Г – о второй, через В и Г – о третьей.

Действительно, если посылки А и В, доказывающие заключение Е, относятся к первой фигуре, то то же самое заключение может быть доказано во второй фигуре при тех же терминах, если посылка А остаётся той же, а посылка В преобразуется, то есть обращается и становится Г. При этом Г будет большей посылкой.

А в третьей фигуре, если В (то есть большая посылка) остаётся той же, что и в первой фигуре, а меньшая посылка преобразуется и становится Г.

Таким образом, одно и то же заключение может быть доказано в трёх фигурах на одних и тех же терминах.

Например, пусть требуется доказать, что «некоторый человек не бел». В первой фигуре это доказывается так:

«Некоторый человек есть эфиоп» (посылка А),

«Ни один эфиоп не бел» (посылка В),

следовательно, «некоторый человек не бел».

Во второй фигуре:

«Некоторый человек есть эфиоп» (посылка А),

«Ни один белый не есть эфиоп» (обращение посылки В, теперь это Г),

и из этого также следует: «некоторый человек не бел».

Здесь посылка А общая с первым доказательством, а Г – другая, поскольку В была обращена, и потому силлогизм другой и фигура – вторая.

В третьей фигуре:

«Ни один эфиоп не бел» (посылка В из первой фигуры),

«Некоторый эфиоп есть человек» (обращение посылки А, теперь это Г),

и из этого снова следует: «некоторый человек не бел».

Здесь посылка В общая с первой фигурой, а Г – своя.

Таким образом, одно и то же заключение доказывается через несколько доказательств не при взятии разных терминов, как было показано сначала, а при тех же самых терминах, по-разному расположенных в соответствии с различиями фигур, и потому получается несколько силлогизмов.

Точно так же можно доказать, что «постыдное не есть прекрасное», через одни и те же термины в трёх фигурах:

– в первой: «всё постыдное есть дурное, ничто дурное не есть прекрасное»;

– во второй: «всё постыдное есть дурное, ничто прекрасное не есть дурное»;

– в третьей: «ничто дурное не есть прекрасное, некоторое дурное есть постыдное» (здесь заключение получается частным).

Можно доказать одно и то же заключение в трёх фигурах и не используя один и тот же средний термин, как сейчас, а беря каждый раз другой.

Пусть, например, нужно доказать, что «некоторый человек не есть лошадь».

– В первой фигуре: «некоторый человек есть грамматик, ни один грамматик не есть лошадь».

– Во второй: «некоторый человек есть музыкант, ни одна лошадь не есть музыкант».

– В третьей: «всё смеющееся есть человек, ничто смеющееся не есть лошадь».

В каждом из этих силлогизмов одно и то же заключение доказано через разные средние термины.

Дополнение к р. 41b38

Логическая гибкость позволяет приходить к одному выводу через разные пути (ὁδοί) – будь то смена терминов или перестройка фигур. Это демонстрирует многообразие (ποικιλία) силлогистического метода.

1. Заключение (συμπέρασμα, Е) может быть доказано разными путями через различные посылки (προτάσεις):

– Через А и В (например: «ничто прекрасное (καλόν) не есть дурное (κακόν)» + «всё постыдное (αἰσχρόν) есть дурное»).

– Через Г и Δ (например: «всё прекрасное есть благо (ἀγαθόν)» + «ничто постыдное не есть благо»).

2. Средние термины (μέσα) варьируются:

– В первом случае «дурное» (κακόν) связывает «прекрасное» и «постыдное».

– Во втором – «благо» (ἀγαθόν).

3. Фигуры силлогизма (σχήματα) меняют форму доказательства:

– Первая фигура (πρῶτον σχῆμα): средний термин – подлежащее в одной посылке, сказуемое в другой (пример: «всё постыдное есть дурное, ничто дурное не есть прекрасное»).

– Вторая фигура (δεύτερον σχῆμα): средний термин – сказуемое в обеих посылках (пример: «ничто прекрасное не есть дурное, всё постыдное есть дурное»).

– Третья фигура (τρίτον σχῆμα): средний термин – подлежащее в обеих посылках (пример: «ничто дурное не есть прекрасное, некоторое дурное есть постыдное»).

Заключение (ἐπίλογος) с примерами по логике:

Одно и то же заключение (Е) доказывается:

– Разными средними терминами:

– «Человек не есть лошадь» через «грамматик», «музыкант» или «смеющееся».

– Одним термином, но разными фигурами:

– «Постыдное не есть прекрасное» через «дурное» в трёх фигурах (см. выше).

Пример из р. 41b38:

– Вывод Е: «ничто постыдное не есть прекрасное».

– Варианты доказательства:

1. Через А («ничто прекрасное не есть дурное») + В («всё постыдное есть дурное») → вторая фигура.

2. Через Г («всё прекрасное есть благо») + Δ («ничто постыдное не есть благо») → тоже вторая фигура.

3. Через иной порядок терминов → первая или третья фигура.

р. 42a1 Или снова, когда каждое из АВ получено через силлогизм.

И таким образом, говорит он, то же самое будет доказано через большее количество терминов, если каждая из посылок, и А, и В, через которые выводилось Е, была взята с предварительным силлогизмом, так что каждая из них является заключением силлогизмов: А – через посылки D, E, а В – через посылки Z, H. Ведь тогда Е будет доказано и через посылки DEZH, но это уже не простой силлогизм, а составной. Ибо необходимо, чтобы то, что выводится из некоторых [посылок], выводилось также и из тех, что выводят эти [посылки], поскольку выводимое потенциально содержится в выводящем.

Например, если бы доказывалось, что «все справедливое полезно», через посылки «все справедливое – благо», «все благо – полезно», и каждая из этих посылок была бы доказана силлогистически: первая – через «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», а вторая – через «все благо – ценно», «все ценное – полезно», то и «все справедливое полезно», которое доказывалось через них, будет выведено.

То, что он говорит сейчас, поясняет нам более ясно составную теорему, изобретателем которой он сам является. Её суть такова:

«Когда нечто выводится из некоторых [посылок], а то, что выводится, вместе с чем-то или с некоторыми [другими посылками] выводит нечто, то и посылки, из которых оно выводится, вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем выводится то [заключение], также выведут то же самое».

Например, посылки А и В, через которые доказывается Г (допустим), как он говорит, также выводят то, что выводится из А и В, а именно Г.

Поскольку «все справедливое – благо», выводимое из «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», выводит вместе с «все благо – полезно» заключение «все справедливое полезно», то и «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», являющиеся посылками для «все справедливое – благо», вместе с «все благо – полезно» выведут «все справедливое полезно», которое выводилось и из них самих вместе с «все благо – полезно».

И если взять «все справедливое – благо» вместе с «все благо – ценно», «все ценное – полезно», выводящими «все справедливое полезно», то и посылки для «все справедливое – благо» вместе с ними выведут то же самое.

Поэтому в формулировке добавлено «с чем-то или с некоторыми».

И таким образом, одно и то же доказывается через большее количество терминов, даже если некоторые из посылок доказаны индуктивно, а другие – силлогистически. Например, А и В, которые были силлогистическими для Е, если А взято индуктивно, а В – через силлогизм.

Опять же, Е будет доказано и из тех, что доказали А индуктивно, и из тех, что доказали В силлогистически.

Например, если доказывается, что «политика стремится к некоторому благу», через посылки «политика – это метод», «всякий метод стремится к некоторому благу», и из них первая – «всякий метод стремится к некоторому благу» – доказана индуктивно (когда мы перебираем искусства и науки, к которым относится метод, и показываем, что они таковы), а вторая – «политика – это метод» – доказана силлогистически (например, через «всякое умение, связанное с разумным рассмотрением подчинённых ему вещей, есть метод; политика же есть умение, связанное с разумным рассмотрением подчинённых ей вещей»).

Или как Платон доказывает в первой книге «Государства», что справедливость – это некая мудрость, а несправедливость – неразумие, так:

«Тот, кто требует большего для неравного, но не требует для равного, – мудр; справедливый же требует большего для неравного, но не требует для равного; следовательно, справедливый – мудр».

Каждую из этих посылок он доказывает, но первую – индуктивно, а вторую – силлогистически.

Индукция здесь такова:

«Тот, кто в вопросах здоровья не требует большего для равного, но требует для неравного, – мудр в этих вопросах. Это врач. Также и тот, кто в музыке не требует преимущества для равного в знании натяжения или ослабления струн, но требует для неравного, – мудр в этом. Это музыкант. И вообще всякий, кто не требует большего для равного, но требует для неравного, – мудр».

А вторую посылку можно вывести силлогистически так:

«Всякий, кто распределяет поровну, не требует преимущества для равного, но требует для неравного; справедливый же распределяет поровну; следовательно, справедливый не требует преимущества для равного, но требует для неравного».

Но такой, как он, – мудр.

Однако и это доказательство не простое, а составное, причём составленное не из нескольких силлогизмов, а из индукции и силлогизма. Поэтому и его анализ будет не сводиться к силлогизмам, как в первом случае (где каждая из посылок в том силлогизме была доказана силлогистически), но анализ этого [доказательства] будет сводиться к индукции и силлогизму, из которых оно и составлено.

Ведь мы анализируем всё рассуждение, утверждая, что А выводится из тех, кто доказал его индуктивно, а В – из своих собственных посылок, а из А и В выводится Е. Следовательно, Е будет выведено и из исходных [посылок], и из доказательных для А, и для В, поскольку, как мы сказали, посылки, из которых что-то выводится, вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем выводится то, что из них доказывается, также выведут [заключение].

Пусть посылки для А – это Г, D; вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем А выводит то, что из него доказывается, они также выведут [заключение]. Ведь и сам А вместе с В выводил Е, но и вместе с посылками для В (пусть это будут Z, H) он выводил то же самое (а именно Е). Следовательно, и Г, D вместе с Z, H или вместе с В выведут Е.

Дополнение к р. 42a1

Одно и то же можно доказать разными путями – через большее число терминов или комбинируя методы.

1. Составной силлогизм (συλλογισμὸς σύνθετος) – когда заключение (Ε) выводится не напрямую, а через промежуточные силлогизмы.

– Пример:

– А (πᾶν δίκαιον καλόν) → В (πᾶν καλὸν ἀγαθόν) → Г (πᾶν δίκαιον ἀγαθόν)

– В (πᾶν ἀγαθὸν ὠφέλιμον) → Г (πᾶν δίκαιον ὠφέλιμον)

– Итог: Г доказано через А, В, D, E, Z, H.

2. Вывод через большее число терминов (διὰ πλειόνων ὅρων) – если каждая посылка сама доказана силлогистически, то итоговое доказательство становится сложнее.

3. Потенциальное содержание (δυνάμει ἐνυπάρχον) – если X следует из Y, а Y следует из Z, то X потенциально содержится в Z.

4. Смешанное доказательство (ἐξ ἐπαγωγῆς καὶ συλλογισμοῦ) – когда одна посылка доказана индуктивно (ἐπαγωγή), а другая – силлогистически (συλλογισμός).

– Пример (из Платона):

– Индукция: «Врач требует разного для больного и здорового → значит, он мудр».

– Силлогизм: «Справедливый распределяет поровну → значит, он мудр».

Логическая структура (кратко)

– Простой силлогизм: A + B → E.

– Составной: (D + E → A) + (Z + H → B) → E.

– Смешанный: (Индукция → A) + (Силлогизм → B) → E.

p. 42a4 Но и таким образом получается несколько силлогизмов: ведь и заключений несколько, например, и А, и В, и Г.

Г он взял вместо Е, которое было при А, В [и Г], взятом как их заключение. Он говорит, что не один силлогизм получается, в котором силлогизме посылки, доказывающие заключение, суть заключения некоторых других: ибо сколько заключений, столько и силлогизмов. Заключениями же являются и А, и В; ведь они были посылками, доказывающими Г, но сами были заключениями других; но и Г, непосредственно выводимое из А, В. Очевидно, что, когда две посылки доказываются через силлогизмы, два заключения становятся тремя заключениями. Ведь то, что доказано через наведение, не есть силлогизм. Но и там силлогизмов больше, потому что или одна из посылок, или В была доказана через силлогизм, так что и таким образом два силлогизма. Сказав же, что получается не один силлогизм, но с