Логика Аристотеля. Том 4. Первая аналитика Аристотеля и формальная логика

Переводчик Валерий Алексеевич Антонов

© Александр Афродисийский, 2025

© Валерий Алексеевич Антонов, перевод, 2025

ISBN 978-5-0067-1456-4 (т. 4)

ISBN 978-5-0064-6688-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Александр Афродисийский. Комментарий к первой книги «Первой Аналитики» Аристотеля (Продолжение)

p. 40b15 Очевидно также, что все [силлогизмы] несовершенны и что они завершаются через первую фигуру.

Ведь это было сказано и относительно второй фигуры: «завершаются через упомянутые фигуры» – вместо «через упомянутую фигуру» он сказал «фигуры». Что же касается силлогизмов в этой фигуре, то они также несовершенны и завершаются через первую фигуру, это очевидно: одни были доказаны через обращение посылок, другие – через приведение к невозможному, в которых меньшая [посылка] была общеутвердительной, либо присущей, либо необходимой, а большая – частноотрицательной возможной. Он упомянул это доказательство только для смешения из возможной и присущей [посылок]; для смешения из необходимой и возможной [посылок] он лишь сказал, что заключение получается как возможное согласно определению, но не привёл само доказательство.

Текст: «И когда берётся отрицательная [посылка], а утвердительная – необходимая». Ведь из общеутвердительной необходимой меньшей [посылки] и частноотрицательной возможной большей [посылки] в третьей фигуре доказывается силлогистическое [заключение] и через приведение к невозможному, и через обращение.

Если мы преобразуем частновозможную отрицательную [посылку] А Г в утвердительную и обратим её, то будет выведено, что В возможно с некоторым А, а после обращения заключения будет доказано то, что было сказано ранее. Но через приведение к невозможному доказывается частноотрицательное возможное [заключение], а через обращение – частноутвердительное возможное [заключение]. Поэтому он и не использует доказательство через обращение в таком сочетании, так как не сохраняется отрицательный характер заключения при отрицательной посылке.

Таким же образом, даже если большая [посылка] является общеутвердительной необходимой, а меньшая – частноотрицательной возможной, [доказательство] проводится через оба вида обращения.

Дополнение к p. 40b15

Аристотель показывает, что все фигуры сводятся к первой через преобразования, но во избежание потери отрицательного характера (например, при обращении) предпочитает приведение к невозможному. Примеры иллюстрируют, как смешанные посылки (необходимые + возможные) требуют разных методов для корректного вывода.

1. Несовершенные силлогизмы (ἀτελεῖς συλλογισμοί) завершаются через первую фигуру (πρῶτος σχῆμα).

– Во второй фигуре (δεύτερος σχῆμα) это происходит через обращение (ἀντιστροφή) или приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

– В третьей фигуре (τρίτος σχῆμα) – аналогично, но с нюансами:

– Если меньшая посылка (ἐλάττων πρότασις) – общеутвердительная необходимая (κατηγορικὴ ἀναγκαία), а большая (μείζων πρότασις) – частноотрицательная возможная (ἐνδεχομένη στερητική), доказательство идёт через:

– Обращение (например, преобразование частноотрицательной возможной посылки в утвердительную).

– Приведение к невозможному (для сохранения отрицательного характера заключения).

2. Пример по логике:

– Через обращение:

– Дано: «Некоторые А не могут быть Г (возможно)» → преобразуем в «Некоторые Г могут быть А».

– Результат: «В возможно с некоторыми А» → после обратного вывода получаем искомое заключение.

– Через невозможное:

– Предполагаем противоречие к желаемому выводу (например, «В необходимо не с некоторыми А»), приходим к абсурду, подтверждая исходное утверждение.

ρ. 40b17 Итак, что (в этих фигурах силлогизмы завершаются через универсальные силлогизмы в первой фигуре.

Он говорит о силлогизмах во второй и третьей фигурах, напоминая нам о доказанном: ибо было доказано, что все силлогизмы в этих фигурах завершаются через первую фигуру либо непосредственно через обращение посылок, либо гипотетически через приведение к невозможному. Указание «универсальные» добавлено либо для того, чтобы показать, что все они сводятся к двум универсальным силлогизмам в этой фигуре (ибо это также было доказано, когда и те, кто выводят частные заключения в первой фигуре, были показаны как сводящиеся к двум универсальным первой фигуры через приведение к невозможному, а также к двум во второй фигуре, состоящим из двух универсальных посылок: если все сводятся к ним, то и завершаются через них, из которых получают свое бытие), либо слово «универсальные» здесь употреблено вместо «просто», ибо все универсальные и просто все завершаются через силлогизмы в первой фигуре. И сказанное можно понимать так: «завершаются же универсальные через силлогизмы в первой фигуре».

Дополнение к ρ. 40b17

Все силлогизмы зависимы от первой фигуры – как от архетипа (ἀρχή) логического вывода.

Аристотель (в Analytica Priora, 40b17) утверждает, что все силлогизмы второй (δευτέρα σχῆμα) и третьей (τρίτον σχῆμα) фигур сводятся к универсальным (καθόλου) силлогизмам первой фигуры (πρῶτον σχῆμα).

Как:

1. Через обращение посылок (ἀντιστροφή).

2. Через приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

Уточнение:

– Слово «универсальные» может означать:

– Сведение ко всем (πάντα) двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara и Celarent).

– Или просто «вообще все» (ἁπλῶς πάντα) завершаются через первую фигуру.

Пример по логике:

– Вторая фигура (Cesare):

– «Ни одно P не есть M» + «Все S есть M» → «Ни одно S не есть P».

– Сводится к Celarent (1-я фигура) через обращение первой посылки.

– Третья фигура (Darapti):

– «Все M есть P» + «Все M есть S» → «Некоторые S есть P».

– Доказывается через reductio ad impossibile (если вывод ложен, возникает противоречие в 1-й фигуре).

p. 40b90 Что же всякий силлогизм вообще так устроен, теперь станет ясно.

Или его задача – показать, что никакой силлогизм не возникает вне трех указанных фигур. Но всякий находится в одной из этих фигур. Таким образом, будет одновременно доказано и то, что всякий силлогизм сводится к двум в первой фигуре, состоящим из универсальных посылок. Слова «всякий силлогизм вообще так устроен» означают либо то, что «так устроен, как мы перечислили и изложили, показывая силлогизмы в каждой фигуре (ибо всякий будет одним из указанных нами, или всякий, который берется: это будет доказано, если будет доказано, что никакой не возникает вне трех фигур, которые мы изложили; ибо если всякий возникающий находится в них, а те, которые в них, суть те, что мы изложили, то всякий возникающий силлогизм был бы в тех, что мы изложили)», либо «всякий силлогизм вообще так устроен, что сводится к универсальным в первой фигуре».

Дополнение к p. 40b90

Все силлогизмы укладываются в три фигуры и сводятся к Barbara/Celarent – как к основе (ἀρχή) дедукции.

– Любой корректный вывод (συμπέρασμα) зависит от универсальных модусов первой фигуры.

1. Структура силлогизма (συλλογισμός)

– Любой силлогизм строится по одной из трёх фигур (σχήματα).

– Невозможен силлогизм вне этих фигур.

2. Сведение к первой фигуре

– Все силлогизмы сводятся к двум универсальным модусам первой фигуры (Barbara, Celarent).

3. Доказательство

– Если все силлогизмы возникают (γίγνεται) только в трёх фигурах,

– а в них они уже изложены (διειλήφαμεν),

– значит, других форм нет.

Логика и примеры

– Пример сведения:

– Силлогизм второй фигуры Cesare (∀M ¬P, ∀S M → ∀S ¬P) сводится к Celarent (∀P ¬M, ∀S M → ∀S ¬P) через конверсию посылки.

р. 40b23 Необходимо, чтобы всякий силлогизм и всякое доказательство показывали, что что-либо присуще или не присуще чему-либо.

Он показывает, что всякий силлогизм будет одним из упомянутых и в одном из трёх фигур, сначала делая разделение того, что доказывается силлогистически, и затем каждое из того, что получилось в разделении, показывает не могущим быть доказанным иначе, как только через одну из трёх упомянутых фигур и через сочетания в них. Ибо когда это будет показано, то предложенное будет доказано.

Он принимает, что всякое доказательство и всякий силлогизм (используя теперь это имя в более общем смысле, чем доказательство) показывает, что что-либо присуще или не присуще чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное. Ибо он показывает, что присуще всему или ничему (это общее) или присуще некоторому или не всему (это частное).

Сказав же, что то, что доказывается силлогистически, есть это, он далее приводит и способы доказательств, говоря, что они доказывают или непосредственно, или из предположения. Непосредственными он называет те, которые доказывают категорически и без какого-либо предположения, но само предложение прямо и непосредственно (ибо они не употребляют имя «категорический» для этого способа доказательства, но имя «непосредственный», а «категорический» у них в обычае называть «утвердительным»). Из предположения же – те, которые полагают некоторое предположение в доказательстве и пользуются одной или несколькими предположенными посылками.

Он покажет, что и в доказательствах из предположения то, что доказывается силлогистически, показывается как присущее или не присущее чему-либо, и каждое из этого – или как общее, или как частное – доказывается через них.

Он говорит, что частью и видом доказательства из предположения является и доказательство через невозможное, показывая нам, что́ именно есть доказательство из предположения и почему оно называется таковым. Ибо и в доказательствах через невозможное, предположив противоположное тому, что хотим доказать, мы строим силлогизм, направленный на это, показывая его невозможность, сперва силлогизируя и показывая ложность и невозможность, а затем, как следствие, устанавливая истинное и предложенное.

О доказательствах из предположения он скажет далее, ибо рассуждение о них последует за этим. Сначала же он показывает, что все те, кто доказывает категорически и непосредственно, как он говорит, делают это через упомянутые фигуры. Ибо из них, говорит он, станет известным и то, что касается предположительных.

Дополнение к р. 40b23

Аристотель систематизирует логику, показывая, что все доказательства сводятся к комбинациям трёх фигур и двух типов (непосредственные и через предположение).

1. Цель силлогизма (συλλογισμός) и доказательства (ἀπόδειξις) – показать, что нечто присуще (ὑπάρχειν) или не присуще (μὴ ὑπάρχειν) чему-либо.

2. Три фигуры (σχήματα) силлогизма – единственные возможные формы доказательства.

– Доказанное силлогистически делится на:

– Общее (καθόλου) – «присуще всему» или «ничему».

– Частное (καθ» ἕκαστον) – «присуще некоторому» или «не всему».

3. Способы доказательства:

– Непосредственные (ἄμεσοι) – прямые, без допущений (категорические, но термин «κατηγορικός» у Аристотеля означает «утвердительный»).

– Из предположения (ἐξ ὑποθέσεως) – с дополнительным допущением (например, доказательство через невозможное (εἰς τὸ ἀδύνατον)).

4. Доказательство через невозможное:

– Принимается противоположное доказываемому.

– Строится силлогизм, ведущий к противоречию (ἀδύνατον).

– Отсюда следует истинность исходного утверждения.

Логика с примерами

– Пример общего утверждения (1-я фигура):

– Все люди смертны (καθόλου).

– Сократ – человек.

→ Сократ смертен.

– Пример через невозможное:

– Докажем: «Душа бессмертна».

– Предположим противоположное: «Душа смертна».

– Если душа смертна, то познание невозможно (логическое следствие).

– Но познание существует (очевидный факт).

→ Значит, исходное предположение ложно → душа бессмертна.

p. 40b30

Если бы нужно было вывести, что А присуще или не присуще В, то есть если бы нашей задачей было сделать утвердительное или отрицательное заключение об А по отношению к В (ведь доказательное [рассуждение] именно таково), необходимо взять что-то, сказывающееся о чём-то. Ибо если ничего не взять, то ничего и не будет доказано. Но даже если взять [что-то] гипотетически, силлогизм всё равно будет доказательным. Однако если взять что-то другое, сказывающееся о другом, но не связанное ни с А, ни с В, то вообще не будет речи об этих [терминах].

Более того, если бы мы взяли, что А сказывается о В, то мы бы взяли именно то, что хотим доказать, а это значит – взять исходное положение. Ведь исходное положение исследуется не как исследуемое, а как уже установленное. Следовательно, А должно сказываться о чём-то другом, или что-то другое должно сказываться об А.

Итак, если мы скажем, что А сказывается о Γ, а Γ не сказывается ни о чём, и ничто другое не сказывается о Γ, и также ничто другое не сказывается об А, то мы вообще не получим силлогизма. Здесь не хватает условия, чтобы и А не сказывалось ни о чём другом, ибо такова структура второй фигуры. Ведь силлогизм не получается, если взят только один [элемент]. Это означает, что если что-то взято относительно одного [термина], то из этого с необходимостью ничего не следует.

Он хочет сказать, что при взятии одного посыла ничего не следует силлогистически, ибо силлогизм – это рассуждение, в котором «если нечто положено», а не «если одно положено». Следовательно, нужна и другая посыла, чтобы доказать силлогистически, что нечто присуще или не присуще [чему-то].

Если, например, добавить, что А сказывается о другом [термине], допустим, о Δ, отрицательно, то получится силлогизм во второй фигуре, [устанавливающий отношение] Γ к Δ. Если же что-то другое сказывается об А, например Δ, силлогистически, то получится силлогизм в первой фигуре, [устанавливающий отношение] Δ к Γ. Если же о Γ, как и об А, сказывается что-то другое силлогистически, например Δ, то получится силлогизм в третьей фигуре, [устанавливающий отношение] А к Δ.

Поэтому он и сказал: «Ничто не мешает, чтобы из взятых таким образом [посыл] получился силлогизм, однако не будет доказано, что В или А сказывается [друг о друге], как было поставлено в задаче, или вообще что-либо из упомянутого, поскольку В изначально не был взят в положенных посылках и ни один из терминов не был с ним связан».

Но даже если мы будем брать [посылы] напрямую, например, что [А сказывается] о Γ, а Γ – о другом, и то [другое] – ещё о чём-то, то и в этом случае, если посылы взяты силлогистически, получится силлогизм в первой фигуре, где А будет сказываться о последнем взятом [термине], но не о В, если только он не был взят [в посылках].

Вообще, если не окажется термина, связывающего [рассуждение] с В, так же как и с А, то не будет и силлогизма об А по отношению к В, что и требовалось доказать. Ведь силлогизм одного [термина] относительно другого не получается, если не взят некоторый средний термин, который будет иметь некоторое отношение к обоим крайним [терминам], о которых нужно сделать доказательство, – либо будучи связанным с обоими, либо сказываясь о них обоих силлогистически, либо подчиняясь обоим, либо сказываясь об одном и подчиняясь другому.

Вообще, силлогизм состоит из посыл, имеющих некоторый общий средний термин. А силлогизм, относящийся к определённому [заключению], состоит из посыл, связанных с этим [заключением]. Поэтому, если взятые посылы никак не связаны с этим [заключением], ничто не помешает возникнуть силлогизму, но не [относящемуся] к этому [заключению].

Если, например, задачей было построить некоторый силлогизм относительно А, то нужно взять первый крайний термин, связанный через один из трёх [силлогистических] способов с некоторым средним [термином] и другим крайним [термином], иначе не получится силлогизм, относящийся к нему.

Например, если задачей было что-то вывести об удовольствии, и мы возьмём, что «всякое удовольствие согласно природе» и «всё согласное с природой избираемо», то мы построим некоторый силлогизм, относящийся к поставленной задаче. Но он не будет относиться к поставленной задаче, если мы возьмём: «всякое удовольствие есть движение» и «всякое движение несовершенно», ибо у нас не было определённого сказуемого.

Опять же, силлогизм одного определённого [термина] относительно другого строится из посыл, связанных с этим и этим [терминами].

Если же задачей было сделать заключение об А относительно В, то посылы должны быть связаны и с В, а не только с А, как это есть в взятых [нами посылах]. Ибо невозможно связать посылку с чем-то, если ни один из этих [терминов] не взят ни как подлежащее, ни как сказуемое.

Но и заключение об А относительно В никогда не получится, если не будет взят некоторый общий для них [термин], который их свяжет, а о каждом из них будет что-то утверждаться или отрицаться отдельно.

Итак, если силлогизм одного [термина] относительно другого возможен только тогда, когда взят некоторый общий для них средний [термин], а отношение среднего [термина] к тем, для которых он берётся как средний, бывает трёх видов (ибо он либо помещается между ними, будучи подлежащим для одного и сказуемым для другого, либо сказывается об обоих, либо подчиняется обоим), и кроме этих [вариантов] невозможно иное его положение и отношение к тем, для которых он берётся как средний, а указанные положения образуют три фигуры, то ясно, что всякий доказательный силлогизм осуществляется через одну из трёх упомянутых фигур и через все силлогистические сочетания в каждой из них.

Следовательно, всякий категорический, то есть доказательный, силлогизм будет одним из упомянутых [видов] силлогизмов.

Сказав и показав это, он добавляет, что тот же самый довод применим и в случае, если [связь] с В устанавливается через большее [число терминов]. Ибо даже если А связывается с В не через один средний термин, а через несколько, то взятие этих нескольких средних [терминов] также будет происходить согласно одной из трёх фигур.

Если, например, взято несколько средних [терминов] по прямой линии, так что А сказывается о Γ, Γ – о Δ, Δ – о Ε, а Ε – о В, то силлогизм об А относительно В будет в первой фигуре.

Если же Γ сказывается об А отрицательно, а о Δ – утвердительно, то во второй фигуре будет выведено, что А не сказывается ни о каком Δ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что Δ не присуще ни одному В (поскольку это общеотрицательное утверждение), то будет выведено, что А не присуще ни одному В во второй фигуре через средние [термины] Γ и Δ.

Если же Γ сказывается обо всех Δ, и вновь В сказывается обо всех Δ, то в третьей фигуре получается, что В сказывается о некотором Γ. Если затем мы добавим к этому утверждению, что А сказывается обо всех Γ (поскольку это частноутвердительное утверждение), то будет выведено, что А сказывается о некотором В.

Если же Γ и В сказываются обо всех Δ, и вновь А сказывается обо всех Γ, то также получается, что А сказывается о некотором В через несколько средних [терминов] (через Δ и Γ) в третьей фигуре.

Далее он показывает, что и силлогизмы, построенные по предположению, осуществляются через одну из этих фигур, и в качестве примера приводит [силлогизмы] через невозможное, показывая, как и они исходят из предположения и выводят [заключение] через одну из трёх фигур.

Они исходят из предположения, потому что противоречащее тому, что хотят доказать, предполагается [в качестве посылы], а затем, рассуждая через это и некоторую другую истинную посылку, приходят к невозможному доказательным путём. Благодаря этому они устраняют предположение, являющееся причиной невозможного заключения, и утверждают противоречащее [ему], уже не выводя это посредством силлогизма.

Все доказательные силлогизмы, как было показано, осуществляются через одну из трёх фигур, следовательно, и силлогизм в приведении к невозможному также будет осуществляться через одну из трёх фигур, поскольку он категорический и доказательный.

Тот, кто доказывает через невозможное, силлогистически выводит ложность, как было сказано, а то, что он хочет доказать и что изначально было его задачей – через доказательный силлогизм, [а именно] противоречащее тому, что он предположил, – [устанавливает] через устранение этого [предположения], поскольку оно приводит к невозможному.

Например, если кто-то хочет доказать, что «ни один человек не является летающим», то через приведение к невозможному он предполагает противоречащее тому, что хочет доказать (а именно, что «некоторый человек является летающим»), затем, присоединив к этому истинную и общепризнанную посылку «всё летающее имеет крылья», он выводит через категорический силлогизм в первой фигуре, что «некоторый человек имеет крылья».

Силлогизм, получающийся через приведение к невозможному, таков, но исходная задача – доказать, что «ни один человек не является летающим» – доказывается не через силлогизм, а через то, что причиной невозможного заключения стало предположение, противоречащее тому, что требовалось доказать.

И это [предположение] устраняется, а [требуемое] утверждается в силу необходимости того, что одна из частей противоречия должна быть истинной.

Опять же, если кто-то хочет доказать, что «не существует движения через пустоту», то через невозможное он предполагает, что «есть движение через пустоту», а затем, доказав и выведя некоторое невозможное следствие из этого предположения, устраняет его и утверждает требуемое.

Он показывает, что если есть движение через пустоту, то более тяжёлые и более лёгкие [тела] будут двигаться с одинаковой скоростью. Ибо через категорический силлогизм [это выводится] так:

«В том, где нет ничего разделяемого движущимися через него [телами], все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью.

Но в пустоте нет ничего разделяемого движущимися через неё [телами].

Следовательно, в пустоте все движущиеся [тела] необходимо движутся с одинаковой скоростью».

Но это невозможно. Следовательно, невозможно и движение через пустоту.

Значит, движения через пустоту нет».

И в этом рассуждении через категорический силлогизм доказана невозможность, а то, что «нет движения через пустоту», утверждается через устранение предположения.

Дополнение к p. 40b30

1. Основная мысль

Для доказательства, что А (Ἀ) присуще или не присуще В (Β), нужны посылки (προτάσεις), связывающие эти термины через средний термин (μέσον). Без среднего термина силлогизм (συλλογισμός) невозможен.

2. Условия корректного силлогизма

– Средний термин должен быть связан с А и В одним из трёх способов (три фигуры силлогизма):

1. Первая фигура (πρῶτος σχῆμα): μέσον подчиняется А и подчиняет В.

2. Вторая фигура (δεύτερον σχῆμα): μέσον подчиняет и А, и В.

3. Третья фигура (τρίτον σχῆμα): μέσον подчиняется и А, и В.

– Если термины не связаны через μέσον, вывод о А и В невозможен.

3. Ошибки в построении силлогизма

– Взятие только одной посылки (μία πρότασις) – недостаточно.

– Неправильная связь терминов – если А и В не имеют общего μέσον, силлогизм не о них.

– Порочный круг – если А сразу сказывается о В, это не доказательство, а исходное утверждение (ἀρχή).

4. Примеры

– Правильный силлогизм (первая фигура):

– Всё Γ (μέσον) есть В.

– Всё А есть Γ.

→ Всё А есть В.

– Ошибка (нет среднего термина):

– Всё А есть движение (κίνησις).

– Всё движение несовершенно (ἀτελές).

→ Но вывод не о В, значит, силлогизм не решает задачу.

– Приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή):

– Предположим: «Некоторый человек летает» (ψευδές).

– Но «Всё летающее имеет крылья» (ἀληθές).

→ «Некоторый человек имеет крылья» (ἀδύνατον).

→ Значит, исходное предположение ложно.

5. Вывод

Любой доказательный силлогизм строится через одну из трёх фигур и требует:

– Двух посылок (δύο προτάσεις).

– Среднего термина (μέσον), связывающего крайние (А и В).

– Отсутствия порочного круга.

Без этого – вывод либо невозможен, либо не относится к поставленной задаче.

р. 41a26 Например, что диагональ несоизмерима со стороной, потому что при допущении соизмеримости нечетные числа становятся равными четным.

В качестве примера он сам использует доказательство через невозможное, показывая это на диагонали, как он, пользуясь доказательством через невозможное, демонстрирует то, что хочет обосновать. Ведь он не строит силлогизм, что диагональ несоизмерима со стороной, показывая это таким образом [что и есть то, что он хочет доказать], но, приняв противоположное – что она соизмерима со стороной, – он показывает через силлогистическое доказательство, что при таком допущении нечетные числа становятся равными четным. А поскольку это невозможно, то опровергается предположение, из которого это следовало, и через опровержение этого предположения обосновывается его противоположное – что диагональ несоизмерима со стороной, так как в любом случае одна из частей противоречия должна быть истинной, что и было изначально поставлено как задача.

А силлогизм о том, что нечетные числа становятся равными четным, если диагональ соизмерима со стороной, пусть будет таким: пусть есть квадратное поле ABCD, и пусть его диагональ – BT. Если диагональ BT соизмерима со стороной AB, то она будет иметь к ней отношение, которое число имеет к числу, ибо у Евклида в десятой книге «Начал» доказано, что «соизмеримые величины относятся друг к другу, как число к числу», и это есть четвертая теорема в десятой книге. Пусть отношение диагонали BT к стороне BA будет как число E к числу F, и пусть взяты наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно простые между собой, ибо «наименьшие числа, имеющие то же отношение, взаимно просты». Это также доказано у Евклида в седьмой книге «Начал». Взаимно простые – это те, которые измеряются только единицей.

Пусть каждое из чисел E и F умножено само на себя, и пусть произведение числа H на себя будет I, а числа Θ – K. Следовательно, I и K – квадратные числа, и они также взаимно просты, ибо это тоже доказано в седьмой книге «Начал»: если два числа взаимно просты и каждое из них умножено само на себя, то получившиеся числа также будут взаимно просты.

Поскольку отношение диагонали BT к стороне AB такое же, как числа E к числу F, а отношение E к F такое же, как H к Θ, то и отношение диагонали BT к стороне AB будет таким же, как отношение числа H к числу Θ. И потому отношение квадрата диагонали BT к квадрату стороны AB будет таким же, как отношение квадрата числа H к квадрату числа Θ. А эти квадраты – I и K. Но квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, следовательно, число I вдвое больше числа K. Поэтому I – четное, ибо всякое удвоенное число четно, так как делится на равные части. Но и его половина будет четной, ибо у квадратных чисел, делящихся на равные части, и половины четны. Следовательно, K, будучи половиной I, также четно. Однако оно и нечетно, ибо H и Θ были взаимно простыми. Но невозможно, чтобы четные числа были взаимно простыми, ибо четные числа не измеряются только единицей как общей мерой, что есть свойство взаимно простых.

Следовательно, либо оба должны быть нечетными, либо один из них, но оба оказались четными из-за предположения. Таким образом, при допущении, что диагональ соизмерима со стороной, нечетные числа становятся равными четным, что невозможно.

В этом доказательстве силлогизм привел к тому, что нечетные числа равны четным, что ложно. А то, что диагональ несоизмерима со стороной, доказывается через предположение: ибо, приняв противоположное этому, через силлогизм было показано, что из этого следует нечто невозможное, и через опровержение предположения утверждается другое, так как одно из них должно быть истинным. Это и есть доказательство через противоречие.

И если даже в приведении к невозможному силлогизм, приводящий к ложному, является доказательным, то есть категорическим, и завершается через одну из трех фигур, то и силлогизмы через невозможное, будучи частью гипотетических, также относятся к этим трем фигурам.

Дополнение к р. 41a26

Ключевые понятия

– Несоизмеримость (ἀσύμμετρος) – отсутствие общей меры для диагонали и стороны.

– Доказательство через невозможное (ἀπαγωγὴ εἰς τὸ ἀδύνατον) – метод, при котором опровергается допущение, ведущее к противоречию.

– Силлогизм (συλλογισμός) – логическое умозаключение, где из двух посылок следует вывод.

Ход доказательства (р. 41a26)

1. Допущение (ὑπόθεσις): диагональ соизмерима со стороной (ἡ διαγώνιος σύμμετρος τῇ πλευρᾷ).

2. Следствие: тогда их отношение выражается отношением целых чисел (ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν).

3. Приведение к противоречию:

– Если взять наименьшие взаимно простые числа (πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους), их квадраты тоже взаимно просты.

– Но по теореме Пифагора, квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны ⇒ одно число должно быть и чётным, и нечётным (ἄρτιον ἴσον περισσῷ).

4. Вывод: допущение ложно ⇒ диагональ несоизмерима.

Логическая структура

– Гипотетический силлогизм:

– Если A (соизмеримость), то B (чётное = нечётному).

– Но B ложно ⇒ A ложно.

– Пример (схематично):

– Допустим, √2 = m/n (m, n взаимно просты).

– Тогда 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² чётно ⇒ m чётно.

– Но тогда n² = m²/2 ⇒ n² чётно ⇒ n чётно.

– Противоречие: m и n не могут быть оба чётными, если они взаимно просты.

Заключение

Аристотель показывает, что доказательство через невозможное опирается на:

1. Опровержение допущения (ἔλεγχος).

2. Утверждение противоположного (ἀντίφασις) по закону исключённого третьего.

Этот метод – частный случай гипотетических силлогизмов, но сводится к трём фигурам категорических умозаключений.

Пример из логики:

– Если все люди смертны (A), а Сократ – человек (B), то Сократ смертен (Г).

– В доказательстве от противного: Если C ложно, то либо A, либо B ложно.

Аналогично в геометрии: Если √2 рационален, то чётное = нечётному – но это абсурд, значит, √2 иррационален.

р. 41a37 Подобным же образом и все остальные [силлогизмы] из предположения.

Показав, как силлогизмы через невозможное, будучи из предположения, подводятся под три упомянутых ранее схемы, он говорит, что точно так же обстоит дело и со всеми остальными силлогизмами из предположения. Ведь так же, как в случае силлогизмов через невозможное, умозаключение относится к предположенному, которое, будучи принято вместо того, что мы хотим доказать, мы полагаем противоположным ему, и, доказав из него и из одного из данных [положений], строим силлогизм, – точно так же, говорит он, происходит и в остальных случаях силлогизмов из предположения. Ибо умозаключение относится к принятому [вместо искомого], будучи доказательным, а принятым называется то, доказательство и силлогизм о котором строится, – а это иногда бывает противоположным исследуемому, как в доказательстве через невозможное, иногда – взятым по соглашению, а иногда – тем, что новейшие [логики] называют присоединённым. Таким образом, силлогизм строится об этом [принятом], а первоначально исследуемое доказывается либо через некоторое соглашение, либо через другое предположение (ибо соглашение тоже есть предположение). Например, если исследуется, «могут ли противоположности сосуществовать или нет», и мы договоримся и согласимся друг с другом, что если это верно для одной из противоположностей, то верно и для всех, затем, взяв противоположности, докажем посредством силлогизма, что они не могут сосуществовать, приняв, что противоположности разрушают друг друга, а разрушающие друг друга не могут сосуществовать, – следовательно, противоположности не могут сосуществовать. В этом случае силлогизм получился категорический и доказательный относительно принятого вместо первоначально исследуемого. Ибо было положено, что «если противоположности могут сосуществовать», а вместо этого приняты противоположности, и о них было дано доказательство и силлогизм. А первоначально исследуемое после такого доказательства утверждается силлогистически через соглашение, поскольку мы договорились и согласились, что если это будет доказано для одной из противоположностей, то будет верно и для всех. В приведении к невозможному мы не нуждались в таком соглашении, а лишь в чистом предположении противоположного; но природа противоречия сама по себе есть причина того, что исследуемое доказывается через обнаружение невозможности выведенного.

Другими видами предположения, как он сказал, могут быть и те, которые новейшие [логики] хотят называть единственно силлогизмами. Это те, которые образуются через тропическое [условное] и присоединение, где тропическое есть либо связное, либо разделительное, либо сложное, – а древние называли их смешанными из гипотетической и доказательной, то есть категорической, посылки. Например, если положено связное условное: «если добродетель есть знание, то она учима», затем доказывается, что добродетель есть знание, – тогда будет доказано, что она учима. Ибо так оно и принимается: если доказано, что [добродетель] есть знание. В этом случае силлогизм снова будет категорическим относительно этого [принятого]. Например: «Всякое устойчивое состояние, не переходящее от истины к лжи, есть знание; добродетель же есть устойчивое состояние, не переходящее от истины к лжи; следовательно, добродетель есть знание». Ведь иначе нельзя было бы утверждать, что добродетель есть знание, кроме как через категорический силлогизм. А после того, как это доказано силлогистически, первоначальное [утверждение] подтверждается через предположение, ибо в условном было предположено: «если добродетель есть знание, то она учима». Если бы присоединяемое не нуждалось в доказательстве, а было бы ясным и известным, как и само условное, то такой аргумент уже не был бы силлогизмом. Ведь такой аргумент изначально не требует никакого силлогизма, ибо силлогизм должен доказывать то, что без умозаключения не является известным.

Условное же, как известное, в гипотетических [силлогизмах], которые называют тропическими, принимается и полагается – в тех случаях, когда это так. Остаётся, чтобы присоединяемое было спорным, как говорит Теофраст, и нуждалось в доказательстве. И вот, силлогизм, доказывающий, что это так, будет категорическим и доказательным, так что и в гипотетических силлогизмах из связного условного подтверждаемое и требующее доказательства доказывается через категорический силлогизм, а первоначально исследуемое доказывается не через силлогизм, а через предположение, которое было положено. А этим [предположением] было условное. Ведь невозможно доказать, что нечто есть то-то или такое-то, или вообще подтвердить и утвердить что-либо надёжно, кроме как через категорический силлогизм.

И если само условное нуждается в силлогистическом доказательстве, то и оно будет доказано через категорический силлогизм. Например, если исследуется, почему, если добродетель есть знание, она учима, то, взяв общее положение «всякое знание учимо», а также что «добродетель есть знание», получим категорический силлогизм.

Древние, кажется, различали «принимаемое вместо» и «присоединяемое». В тех случаях, когда принимаемое содержится в данных [посылках], но не в таком виде и не так, как принимается, – в этих случаях принимаемое называется «принятым вместо». Ибо оно не прибавляется извне, а берётся иначе и преобразуется в другое. Например, в условном «если день, то свет» утверждение «есть день», которое новейшие называют присоединяемым, содержится [в посылках], но не в таком виде, в каком принимается: в условном оно полагается в предположении и следствии, а принимается как существующее. В таких случаях говорят, что происходит «замена». Ибо положенное принимается не так, как было положено: положенное в отношении, следствии и предположении преобразуется в утверждение существования. «Присоединяемым» же они называют то, что к данным [посылкам] прибавляется извне, потенциально в них содержащееся, но не актуально, – как в силлогизмах через присоединение. Например, в [посылке] «что сказывается о В, то сказывается и об А, а о Γ сказывается В», утверждение «о Γ сказывается В» присоединено извне, ибо в посылке «что сказывается о В, то сказывается и об А» не содержится актуально утверждение «о Γ сказывается В». Однако они используют и присоединение вместо замены.

То же самое рассуждение применимо и к разделительному [силлогизму] «либо то, либо это», который тоже называют тропическим и через присоединение. Ибо какое бы из них ни принималось как нуждающееся в доказательстве, оно требует категорического силлогизма для доказательства. Например, если взято разделительное «либо тело, либо душа, либо бестелесное», затем доказывается, что не тело (ибо так было бы присоединено: «но ведь не тело, следовательно, бестелесное»), то и само [утверждение] должно быть доказано через категорический силлогизм, например: «всякое тело есть либо элемент, либо из элементов; душа же ни элемент, ни из элементов; следовательно, душа не есть тело».

То же и в случае сложного отрицательного [силлогизма], если он действительно является другим из рассматриваемых видов, а не тем же самым, что и условный, начинающийся с утвердительного и заканчивающийся отрицательным, например: «если А, то не В». И в этих случаях, если принимаемое нуждается в доказательстве, оно будет доказано через категорический силлогизм. Например: «не может быть, чтобы удовольствие было целью и добродетель выбиралась ради себя самой; но добродетель выбирается ради себя самой; следовательно, удовольствие не есть цель». Ибо принимаемое «добродетель выбирается ради себя самой» доказывается через категорический силлогизм: «то, обладание чем делает самого обладателя наилучшим и наилучшим образом исполняющим свойственную ему функцию, выбирается ради себя самого; добродетель же есть обладание, делающее самого обладателя наилучшим и наилучшим образом исполняющим свойственную ему функцию; следовательно, добродетель выбирается ради себя самой».

Если же то же самое взято гипотетически таким образом: «если удовольствие есть цель, то добродетель не выбирается ради себя самой», то и следствие может быть доказано через подобный силлогизм: «всё, что выбирается как производящее нечто, не выбирается ради себя самого; если удовольствие есть цель, то добродетель выбирается как производящая удовольствие; следовательно, если удовольствие есть цель, то добродетель не выбирается ради себя самой».

Он говорит, что и сам [силлогизм] строится относительно принимаемого. Но не может быть силлогизма о самом следствии или противоречии, ибо доказательство в этих случаях служит для утверждения предположения, а гипотетический силлогизм строится на чём-то положенном, так что доказательство предположения не входит в гипотетические силлогизмы. Ведь то, что называют тропическим, во всех случаях принимается как очевидное через предположение и соглашение.

Чаще же всего нуждаются в доказательстве принимаемые и присоединяемые [положения], если вообще такие аргументы полезны. Ибо там, где принимаемое не нуждается в доказательстве, и получающееся [умозаключение] не есть силлогизм, раз всё очевидно. Но если [принимаемое] нуждается в доказательстве, то, если оно берётся без доказательства, ничего не доказано и не получилось никакого силлогизма; а если доказывается, то требуется категорический силлогизм. Ведь предположение само по себе не помогает подтвердить что-либо, если мы, преобразовав нечто из данных [посылок], не подтвердим это категорически, и через его подтверждение не подтвердится и следующее из него.

Бесполезно для доказательства и утверждения чего-либо как существующего всё это гипотетическое построение силлогизмов. Ибо через них не доказывается ни что что-либо принадлежит или не принадлежит чему-либо, ни в общем, ни в частном, – а это, как он сказал, есть свойство силлогизма. Поэтому и рассуждение через три [термина] может быть правильным, как показано, но не называется просто силлогистическим.

Таким образом, и гипотетическим аргументам полезность и силлогистичность приходят от категорических силлогизмов. Потому те [категорические] суть силлогизмы просто, а эти [гипотетические] – не просто, а всё это вместе называется силлогизмами из предположения. Ибо категорические [силлогизмы] не нуждаются ни в каких предположениях, чтобы доказать исследуемое (потому они и называются просто силлогизмами, довлея сами себе), а гипотетические без них ничего не доказывают.

Следовательно, если все силлогизмы из предположения строятся через категорические силлогизмы, а все категорические – через три схемы, то все силлогизмы сводятся к трём схемам. А если так, и все силлогизмы, получающиеся в них, сводятся к двум первым в первой схеме, то будет доказано, что все силлогизмы сводятся к этим двум.

К гипотетическим [силлогизмам] можно отнести и те, что строятся от большего, подобного и меньшего. Ибо в них также одно предполагается, а другое принимается вместо, и для него требуется категорический силлогизм. Ведь все [силлогизмы], в которых что-то принимается вместо, суть гипотетические. И в этих [силлогизмах] тоже происходит замена. Например: «если большее благо чего-то не является производящим счастье, то и меньшее; здоровье же, будучи большим благом, чем богатство, не производит счастья» – ибо это принимается вместо и требует категорического доказательства. Подобно и в случае: «если меньшее благо выбирается ради себя самого, то и большее; богатство же, будучи меньшим благом, чем здоровье, выбирается ради себя самого» – здесь опять принимаемое вместо нуждается в категорическом доказательстве. Таков же и [силлогизм] от подобного.

Аристотель особо называет [силлогизмы] от большего, меньшего и подобного «качественными», а те, что называются через присоединение (каковы смешанные), – «через замену», как мы узнаем по ходу рассуждения.»

Дополнение к р. 41a37

1. Силлогизмы из предположения (ἐξ ὑποθέσεως) включают:

– Доказательство через невозможное (διὰ τοῦ ἀδυνάτου) – принимается противоположное тезису, выводится противоречие.

– Условные силлогизмы (τροπικοί) – связные («если А, то В»), разделительные («либо А, либо В»), сложные.

– Присоединение (πρόσληψις) – добавление новой посылки для вывода.

2. Роль категорического силлогизма (κατηγορικός):

– Любой гипотетический аргумент сводится к категорическому. Например:

– Условный: «Если добродетель – знание (ἐπιστήμη), то она учима».

– Категорический: «Всякое знание учимо; добродетель – знание → она учима».

3. Примеры логики:

– Через невозможное:

– Тезис: «Противоположности не сосуществуют».

– Предполагаем обратное → выводим противоречие.

– Разделительный:

– «Либо тело (σῶμα), либо душа (ψυχή), либо бестелесное».

– Доказываем «не тело» → остается «бестелесное».

4. Ключевое отличие:

– Категорические силлогизмы самодостаточны.

– Гипотетические требуют внешнего предположения (ὑπόθεσις) и сводятся к категорическим.

Вывод: Все силлогизмы из предположения опираются на три фигуры категорических силлогизмов (ср. Analytica Priora).

КРАТКИЕ ПРИМЕРЫ

1. Условный:

– Если день (ἡμέρα), то свет (φῶς). День есть → свет есть.

– Категорическое доказательство: «Свет сопровождает день; сейчас день → есть свет».

2. Через присоединение:

– Посылка: «Что сказывается о В, то и об А».

– Присоединяем: «О Γ сказывается В» → вывод: «О Γ сказывается А».

3. От большего/меньшего:

– «Если здоровье (ὑγίεια) – большее благо, чем богатство (πλοῦτος), и не даёт счастья (εὐδαιμονία), то богатство – тем более».

– Категорически доказываем: «Здоровье не производит счастья».

Таким образом, гипотетические силлогизмы – лишь «надстройка» над категорическими, которые являются основой логики.

p. 41b6 Еще во всяком [силлогизме] необходимо, чтобы один из терминов был категорическим и чтобы общее присутствовало.

Что невозможно из двух отрицательных посылок получить силлогизм, он говорит, напоминая нам о доказанном: ибо необходимо, говорит он, чтобы один из терминов был категорическим, то есть чтобы хотя бы одна из посылок была утвердительной, если должен возникнуть силлогизм. Это он показал, что так обстоит во всех фигурах, доказав, что сочетания из двух отрицательных [посылок] не дают силлогизма. Ведь даже в тех случаях, где, казалось бы, [силлогизм возможен], как в случае возможных [суждений], во-первых, возможные [суждения] – не просто отрицания, а затем, при преобразовании – либо обоих, либо одной из них в утвердительную – получался силлогизм, иначе же нет.

Он говорит также, что необходимо, чтобы общее присутствовало, то есть чтобы была взята общая посылка, если должен возникнуть силлогизм. Что, конечно, из двух частных посылок ни в одной из фигур не возникает силлогистического сочетания, и даже из неопределенных, он уже показал. Теперь же, сказав, что силлогизма не будет, он добавил: «или не по отношению к поставленному [вопросу]», как если бы нечто могло быть силлогистически выведено и без взятия общей посылки, но не относящееся к поставленному [вопросу].

Это не означает, что из двух частных [посылок] возможно получить силлогизм, но что [это возможно] из не-общего. «Не-общее» двояко: оно означает и частное, и (то, что) не является общим по отношению к поставленному [вопросу]. Ибо нечто, будучи общим иначе, может не охватывать поставленного [вопроса] и не быть общим по отношению к нему.

Когда же берется нечто общее, но не как относящееся к поставленному [вопросу] и не охватывающее его, а, например, взятое общее относится к части сказуемого в проблеме, то хотя силлогизм из такого [суждения] не невозможен – очевидно, при добавлении некоторой более частной посылки, подчиненной ему, – но поставленный [вопрос] не будет доказан, как он поясняет на примере.

Пусть, например, требуется доказать, что музыкальное удовольствие прекрасно. Если кто-то возьмет неопределенно, что удовольствие прекрасно, желая доказать поставленное – что всякое музыкальное удовольствие прекрасно, – не добавив «всякое», так чтобы посылка была «всякое удовольствие прекрасно», а затем, присоединив «но музыкальное удовольствие», выведет «следовательно, музыкальное удовольствие прекрасно», он не построит силлогизма, ибо неопределенное принимается как равнозначащее частному.

Поскольку [посылка] не является общей (ибо если бы она была взята как общая, она охватывала бы и музыкальное удовольствие), силлогизма не получится. Ведь таким образом берутся две частные [посылки].

Если же кто-то, определив некий вид удовольствия, возьмет его как общее, он не сможет вывести поставленное [заключение]. Ибо ничто из противопоставленного музыкальному удовольствию не охватывается удовольствием, относящимся к музыкальному. Поэтому если он возьмет иной вид удовольствия, он построит некоторый силлогизм и заключение, но не относящееся к поставленному [вопросу].

Пусть, например, взято: «всякое удовольствие от созерцания прекрасно». Если к этой посылке мы добавим «а удовольствие от геометрии есть удовольствие от созерцания», то будет выведено, что удовольствие от геометрии прекрасно, но это не будет силлогизмом поставленного [вопроса].

Если же кто-то возьмет именно это, сказав: «всякое музыкальное удовольствие прекрасно», он потребует самого исходного [положения].

Следовательно, необходимо взять нечто общее, относящееся к музыкальному удовольствию.

То же самое и если кто-то, желая доказать, что все прекрасное как благо достойно почитания, возьмет неопределенно, что благо достойно почитания, не добавив «все», он не построит силлогизма, ибо неопределенное принимается как частное.

Но даже если он возьмет нечто из подчиненных благу, противопоставленных прекрасному, как общее, и таким образом поставленное [заключение] не будет выведено. Однако ничто не помешает вывести иное заключение.

Например, если он возьмет: «все божественное благо достойно почитания» и добавит «а солнце есть божественное благо», то [выведет] «следовательно, солнце достойно почитания».

Но он докажет через силлогизм, что прекрасное как благо достойно почитания, только если возьмет нечто общее, относящееся к такому благу, как достойное почитания.

Ибо если он возьмет «все благо достойно почитания» и добавит «а прекрасное как благо есть благо», то он таким образом докажет поставленное через силлогизм.

Если же он снова возьмет как общее «все прекрасное как благо достойно почитания», он потребует самого исходного [положения], как и в случае с музыкальным удовольствием было сказано.

Выражение «или не по отношению к поставленному» может пониматься не как то, что силлогизм будет, но не относящийся к поставленному [вопросу], а как то, что взятая частная посылка вообще не связывается с тем, что требуется доказать.

И этому, возможно, соответствует и последующее сказанное: «если же [возьмем] некоторое удовольствие, если иное, то это ничего не дает для рассуждения».

Посылка будет относиться к поставленному [вопросу], но не будет силлогистической, если общее поставленного [вопроса] взято неопределенно.

Если же взято не общее, а нечто из подчиненных общему, или само это, то либо она вообще не свяжется с поставленным [вопросом], если берется иное, а не само поставленное, либо, если берется само, потребуется исходное [положение].

Но ничто из сказанного не является силлогистическим.

Г этим, по-видимому, лучше согласуется и доказательство на диаграмме.

Более же, говорит он, это становится ясным на диаграммах: он имеет в виду, что силлогизм не возникает и поставленное не доказывается, если не взята общая посылка.

Дополнение к p. 41b6

1. Категоричность (κατηγορικός) – хотя бы одна посылка должна быть утвердительной (не две отрицательные).

Пример:

– «Ни один человек не есть камень» (отрицательная) + «Ни один камень не живет» (отрицательная) → нет вывода.

– «Все люди смертны» (утвердительная) + «Сократ – человек» → «Сократ смертен».

2. Общность (καθόλου) – хотя бы одна посылка должна быть общей (не две частные).

Пример:

– «Некоторые животные – собаки» (частная) + «Некоторые собаки лают» (частная) → нет вывода.

– «Все люди разумны» (общая) + «Сократ – человек» → «Сократ разумен».

3. Отношение к поставленному вопросу (πρὸς τὸ κείμενον) – общая посылка должна охватывать предмет вывода.

– Пример (ошибка):

– «Всякое созерцательное удовольствие прекрасно» (общее, но не о музыке) + «Геометрия – созерцательное удовольствие» → вывод не о музыкальном удовольствии.

– Правильно:

– «Всякое удовольствие прекрасно» (общее, включая музыкальное) + «Музыкальное удовольствие – удовольствие» → «Музыкальное удовольствие прекрасно».

Логика примера (по Аристотелю)

– Ошибка: неопределенная посылка («удовольствие прекрасно» = «некоторое удовольствие прекрасно») ведет к частному выводу, а не к общему.

– Решение: только общая посылка («всякое удовольствие прекрасно») дает силлогистический вывод.

Вывод: Силлогизм требует (1) утвердительной посылки (κατηγορικός) и (2) общей посылки (καθόλου), относящейся к поставленному вопросу (πρὸς τὸ κείμενον). Иначе вывод либо невозможен, либо неверен.

p.41b14 Например, что у равнобедренного [треугольника] углы при основании равны.

Нужно доказать, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны между собой. Евклид в первой книге «Начал» доказывает это с помощью пятого постулата, используя другое доказательство. Аристотель же доказывает это иначе, и доказательство таково:

Пусть есть круг ABΓΔ, и его центр – точка E. Проведём из центра к окружности прямые, пересекающие друг друга, а именно AE и BE, которые, очевидно, являются диаметрами круга. Соединим AB. Тогда AB будет основанием треугольника EAB. Углы при его основании – это углы AΓ и BΔ.

Поскольку каждый из углов ΔΓ и BΔ является углом полукруга, они равны между собой. Ибо углы равных полукругов равны, так как они совмещаются друг с другом. Те же углы, которые отсекаются основанием треугольника и дугой окружности, равны между собой, поскольку они находятся в одном и том же сегменте. Ведь углы в одном и том же сегменте равны между собой, и вообще углы равных сегментов равны.

Следовательно, оставшиеся углы при основании, отсекаемые основанием и каждой из сторон треугольника, равны между собой. Ибо если от равных отнять равное, то остатки будут равны. А стороны треугольника, под которыми лежат равные углы, равны между собой, так как обе они проведены из центра.

Таким образом, у равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой.

Если же кто-то, желая доказать это, возьмёт угол AΓ равным углу BΔ, не доказав заранее, что углы равных полукругов равны, то он будет принимать искомое в начале доказательства.

Или если он докажет это, то есть что целое равно целому, и возьмёт углы, отсекаемые дугой окружности и основанием треугольника, равными друг другу (Γ и Δ), отняв их от прямых углов полукругов, но не докажет заранее, что углы равных сегментов равны (ведь углы равных сегментов равны, потому что сегменты совмещаются друг с другом, как и полукруги, поэтому их углы равны; а общим сегментом двух полукругов, отсечённых диаметрами A и B, является сегмент под основанием треугольника; он, конечно, равен самому себе и совмещается, поскольку от каждого отнято нечто, как бы двойное; следовательно, его углы также равны между собой), – то если кто-то возьмёт углы в сегменте равными, не доказав, почему они равны, он снова будет принимать искомое в начале, а не доказывать его.

Или если он докажет и это, но возьмёт оставшийся угол равным углу Z, то и так он примет искомое в начале, но не докажет его, если не положит без доказательства то положение, что если от равных отнять равное, то остатки равны между собой.

Он говорит, что остатки от углов полукругов – это E и Z, так что целые углы полукругов – это AΓ и BΔ, отнятые от них углы сегмента – Γ и Δ, а оставшиеся от них – E и Z, которые содержатся между основанием и каждой из сторон и являются углами при основании, о которых сейчас нужно доказать, что они равны.

Тогда по необходимости он будет принимать искомое, если берёт без доказательства то, что требует доказательства. Ибо он будет постулировать, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, но не докажет этого.

Дополнение к p.41b14

Суть доказательства:

Аристотель доказывает равенство углов при основании равнобедренного треугольника (ἰσοσκελὲς τρίγωνον) через свойства круга (κύκλος) и его сегментов, избегая прямого использования постулатов Евклида.

Ключевые шаги:

1. Построение:

– Берётся круг с центром E и диаметрами AE, BE.

– Основание треугольника AB соединяет точки на окружности.

– Углы при основании – ∠EAB и ∠EBA.

2. Равенство углов полукруга (ἡμικύκλιον):

– Углы ∠AΓ и ∠BΔ – прямые (по теореме Фалеса), так как опираются на диаметр.

– Полукруги равны → их углы равны (∠AΓ = ∠BΔ).

3. Равенство углов сегмента (τμῆμα):

– Углы ∠Γ и ∠Δ лежат в одном сегменте (под хордой AB) и равны (∠Γ = ∠Δ).

4. Вычитание равных величин:

– От равных углов полукругов отнимаются равные углы сегмента:

\ [

∠AΓ – ∠Γ = ∠BΔ – ∠Δ \quad ⇒ \quad ∠EAB = ∠EBA.

\]

Логика (с примерами):

Аристотель критикует порочный круг в доказательстве, если:

– Без обоснования берётся равенство углов сегментов (принимается искомое).

– Не доказывается, что «от равного отнято равное → остатки равны» (пример: если 10 – 3 = 10 – 3, то 7 = 7, но это надо обосновать).

Вывод: Доказательство должно опираться на ранее установленные истины, а не на сам доказываемый факт.

р. 41b23 И что общее доказывается из общих посылок.

Показав, что во всяком силлогизме необходимо должна быть некоторая общая посылка, он напоминает нам также и о том, что если заключение будет общим, то необходимо, чтобы обе посылки были взяты как общие. Иначе не может получиться общее заключение. Однако если обе посылки будут общими, то еще не обязательно, чтобы и заключение было общим, ибо иногда получается частное заключение и из общих посылок, как было показано в случае третьей фигуры.

p. 41b27 Ясно также, что во всяком силлогизме

И это напоминает нам, что во всяком силлогизме необходимо, чтобы обе посылки были подобны заключению или по крайней мере одна из них. В утвердительном [силлогизме] – обе (ибо иначе не получится утвердительное заключение, если только обе посылки не будут утвердительными), а в отрицательном – одна. Ведь ни из двух утвердительных [посылок] не получится отрицательное заключение, ни из двух отрицательных, ибо вообще силлогизм никогда не может состоять из двух отрицательных посылок.

Он говорит, что не только в отношении утвердительного и отрицательного необходимо, чтобы обе посылки были подобны заключению или по крайней мере одна из них, но также и в отношении необходимого, присущего и возможного. Ведь не может получиться необходимое заключение, если ни одна из посылок не является необходимой, как он говорит (но необходимо, чтобы либо обе были необходимы, либо по крайней мере одна, и именно большая). Точно так же и в случае присущего и возможного: подобным же образом и для присущего заключения, и для возможного посылки будут иметь тот же характер.

Как же он сказал, что в смешанных [силлогизмах] из необходимой отрицательной общей и возможной утвердительной получается присущее отрицательное заключение?

Дополнение к р. 41b23, 41b27

Аристотель подчеркивает строгую зависимость между типом посылок и характером заключения, включая их общность, качество (утверждение/отрицание) и модальность.

1. Общее заключение (καθόλου συμπέρασμα) требует общих посылок (καθόλου προτάσεις).

– Пример:

– Все люди смертны (καθόλου).

– Все греки – люди (καθόλου).

→ Все греки смертны (καθόλου).

– Но из общих посылок может следовать частное заключение (ἐν μέρει) (например, в 3-й фигуре силлогизма).

2. Структура посылок должна соответствовать заключению:

– Утвердительный силлогизм (καταφατικός) требует двух утвердительных посылок.

– Отрицательный силлогизм (ἀποφατικός) требует одной отрицательной посылки (две отрицательных не дают вывода).

3. Модальности (ἀναγκαῖον, ἐνδεχόμενον, ὑπάρχον):

– Для необходимого заключения (ἀναγκαῖον) нужна хотя бы одна необходимая посылка (предпочтительно большая).

– Аналогично для возможного (ἐνδεχόμενον) и присущего (ὑπάρχον).

Пример по логике (р. 41b23 и далее):

– Смешанный силлогизм:

– Посылка 1 (необходимая, отрицательная): Ни один человек не есть камень (ἀναγκαῖον, ἀποφατική).

– Посылка 2 (возможная, утвердительная): Все художники могут быть людьми (ἐνδεχόμενον, καταφατική).

→ Заключение (присущее, отрицательное): Некоторые художники не есть камни (ὑπάρχον, ἀποφατικόν).

p. 41b31

Следует также рассмотреть и другие категории. Под «другими категориями» можно понимать те, которые отличаются от уже упомянутых способов. Таковыми они будут, если заключение ложно или невозможно. Ибо обе посылки должны быть ложными или по крайней мере одна из них. Точно так же, если заключение невозможно, то либо обе посылки, либо по крайней мере одна из них необходимо должны быть невозможными, поскольку невозможное следует из невозможного, а ложное – из ложного. Однако если заключение истинно, это не означает, что и посылки обязательно истинны – ни обе, ни одна из них: ибо из двух ложных посылок иногда можно вывести истинное заключение, как будет показано. Именно поэтому сказано, что следует рассмотреть и другие категории, чтобы понять, в каких случаях это необходимо: ведь не во всех случаях это происходит одинаково. Также, если заключение правдоподобно или неправдоподобно, то и посылки или некоторые из них должны быть таковыми. И если заключение неочевидно, то и одна из посылок будет неочевидной: если бы кто-то, например, доказывал, что звёзды чётны по числу, исходя из того, что полушария содержат равное количество звёзд, он бы делал неочевидный вывод из неочевидного. Точно так же, если заключение относится к тому, что бывает по большей части, или к природе, или к выбору, то и посылки или хотя бы одна из них будут таковыми. Под «категориями» можно также понимать роды: если доказываемое и заключение относятся к качеству, то необходимо, чтобы и посылка была такого рода; аналогично – если речь о количестве или отношении. То же самое рассуждение применимо и к другим категориям.

Дополнение к p. 41b31

Аристотель анализирует связь между посылками (προτάσεις, protaseis) и заключением (συμπέρασμα, symperasma) в логических умозаключениях.

Ключевые мысли:

1. Ложное/невозможное заключение (ψεῦδος/ἀδύνατον, pseudos/adynaton):

– Если вывод ложен/невозможен, то обе посылки или одна тоже ложны/невозможны.

– Пример: «Все птицы – рыбы (ложь), все пингвины – птицы (истина) → пингвины – рыбы (ложь)».

2. Истинное заключение (ἀληθές, alethes):

– Истинный вывод не гарантирует истинности посылок: они могут быть ложными.

– Пример: «Все растения – животные (ложь), все розы – растения (истина) → розы – животные (ложь)» (но возможны случаи, где вывод истинен при ложных посылках).

3. Правдоподобие (εἰκός, eikos) и очевидность (ἐναργές, enarges):

– Если вывод неправдоподобен/неочевиден, то и посылки таковы.

– Пример: «Полушария содержат равное число звёзд (неочевидно) → звёзд чётное число (неочевидно)».

4. Категории (κατηγορίαι, kategoriai) как роды:

– Если вывод о качестве (ποιόν, poion), количестве (ποσόν, poson) или отношении (πρός τι, pros ti), то посылки должны соответствовать этой категории.

Заключение (ἐπίλογος, epilogos):

Логическая связь между посылками и выводом зависит от типа категории и истинностного статуса.

– Ложное → ложное (необходимо).

– Истинное → не обязательно истинное (возможны парадоксы).

– Категории определяют структуру аргумента.

Пример по категориям:

– «Если Сократ – человек (качество), а все люди смертны (качество), то Сократ смертен (качество)».

p. 41b32

Ясно также, когда силлогизм будет простым, а когда не будет.

«Простой» здесь означает «универсальный». Ведь очевидно, что в случае универсального [силлогизма] ясно, при каких условиях и как, при взятии тех или иных посылок, силлогизм получится, а при каких – нет: это было показано для каждой фигуры.

p. 41b33

А также когда он возможен и когда совершенен.

«Возможным» он называет несовершенный силлогизм, который ещё не явно является силлогизмом, но может стать таковым – либо через обращение, либо через приведение к невозможному: ведь именно таким способом несовершенные силлогизмы доводятся до совершенства. То, что он понимает «возможное» именно так, ясно из добавления слова «совершенный». Также очевидно, что если есть силлогизм, то посылки необходимо должны быть взяты одним из упомянутых способов: он будет либо в первой, либо во второй, либо в третьей фигуре. Все силлогизмы, как было показано, возникают в этих фигурах, и в каждой фигуре – в одной из доказанных комбинаций. Даже если силлогизм сложный и строится через несколько средних терминов, всё равно его построение и анализ будут происходить через одну из этих фигур.

Дополнение к p. 41b32, 41b33

Аристотель систематизирует анализ силлогизмов через структуру (фигуры) и преобразования (обращение, reductio).

1. Простой (ἁπλοῦς) силлогизм = универсальный (καθόλου), где чётко видно, при каких посылках он получается (по фигурам, Anal. Pr. I.4—6).

– Пример: Все люди смертны (A → B), Сократ – человек (B → C) ⇒ Сократ смертен (A → C).

2. Возможный (δυνατός) силлогизм = несовершенный (ἀτελής), который становится совершенным (τέλειος) через:

– Обращение (ἀντιστροφή) или

– Приведение к невозможному (εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγή).

– Пример: Несовершенный: «Некоторые птицы не летают» → через обращение становится явным.

3. Все силлогизмы сводятся к трём фигурам (σχήματα) и их комбинациям, даже сложные (с цепью терминов).

p. 41b36

Ясно также, что всякое доказательство осуществляется через три термина и не более, если только одно и то же заключение не получается через разные [цепочки терминов].

Здесь он называет доказательством силлогизм в более общем смысле. Он показывает, что всякий силлогизм строится через три термина и не более, то есть через две посылки. Это он говорит о непосредственных [посылках], ибо в сложных [силлогизмах] посылок больше, но не непосредственных. Все [силлогизмы] строятся через две непосредственные посылки и три термина, и не более, если только одно и то же заключение не доказывается через разные средние термины. Например, если кто-то поставит целью доказать, что всякое удовольствие есть благо, и каждый раз будет брать разные средние термины для доказательства этого, то, поскольку заключение одно и то же, может показаться, что это один и тот же силлогизм. Но поскольку заключение получается не через те же самые средние термины и не через те же самые посылки, силлогизмы будут разными, и их будет столько, сколько раз менялись средние термины. Ведь не один и тот же силлогизм – тот, который говорит: «Всякое удовольствие есть предмет стремления, всякий предмет стремления есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо», и тот, который говорит: «Всякое удовольствие согласно с природой, всё согласно с природой есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо». И ни один из них не совпадает с тем, который берёт: «Всякое удовольствие возникает через искусство, всё возникающее через искусство есть благо, следовательно, всякое удовольствие есть благо». Хотя во всех этих случаях заключение одно и то же. Точно так же, если кто-то доказывает противоположное – что никакое удовольствие не есть благо, – то иногда через: «Всякое благо полезно, никакое удовольствие не полезно, следовательно, никакое удовольствие не есть благо», а иногда через: «Всякое удовольствие несовершенно (если оно движение, а движение есть несовершенная деятельность), ничто несовершенное не есть благо, следовательно, никакое удовольствие не есть благо». И здесь одно и то же заключение доказывается через разные термины и посылки. Поэтому силлогизмов несколько, а не один. Так и Платон доказывает бессмертие души то через то, что учение есть воспоминание, то через то, что душа не принимает противоположного, поскольку несёт в себе противоположное тому, то через то, что душа не разрушается чужой порочностью, поскольку не разрушается собственной, а то через то, что душа самодвижна. Ведь одно и то же он доказывает через несколько средних терминов, поэтому силлогизмов несколько.

Дополнение к p. 41b36

Аристотель утверждает, что доказательство (ἀπόδειξις, apodeixis) всегда строится через три термина (ὅροι, horoi) и две посылки (προτάσεις, protaseis), если только одно заключение не выводится разными путями.

Ключевые моменты:

1. Три термина:

– Больший (μέγιστον, megiston) – предикат вывода.

– Меньший (ἐλάχιστον, elachiston) – субъект вывода.

– Средний (μέσον, meson) – связующее звено.

2. Одно заключение – разные пути:

Если вывод (συμπέρασμα, symperasma) один, но средние термины разные, это разные силлогизмы (συλλογισμοί, syllogismoi).

Примеры (παραδείγματα, paradeigmata):

1. Доказательство «удовольствие – благо»:

– Через стремление:

Удовольствие → стремление → благо.

– Через природу:

Удовольствие → согласие с природой → благо.

– Через искусство:

Удовольствие → создано искусством → благо.

2. Отрицание («удовольствие – не благо»):

– Через полезность:

Благо → полезно; удовольствие → не полезно.

– Через несовершенство:

Удовольствие → движение → несовершенство → не благо.

3. Платон о бессмертии души:

– Через воспоминание (анамнезис).

– Через неприятие противоположного.

– Через самодвижность (αὐτοκίνητον, autokineton).

Вывод (ἐπίλογος, epilogos):

Один вывод может иметь множество силлогизмов, если меняется средний термин. Логическая структура зависит не от заключения, а от связи терминов.

Формула:

– Если А → Б → В (силлогизм 1),

и А → Г → В (силлогизм 2),

то это два разных доказательства.

Пример из текста:

– «Удовольствие → стремление → благо» ≠ «Удовольствие → природа → благо».

р. 41b38 Например, вывод Е через посредство А и В, а также через посредство Г и Δ.

Е обозначает заключение, а А, В и Г, Δ – различные посылки, через которые доказывается Е, иногда через посылки А и В, иногда через посылки Г и Δ. Пусть, например, заключением будет «ничто постыдное не есть прекрасное», обозначаемое как Е. Оно выводится иногда через посылки «ничто прекрасное не есть дурное, а всё постыдное есть дурное» – это силлогизм во второй фигуре, где первая посылка – А, вторая – В.

То же самое доказывается через посылки «всё прекрасное есть благо, ничто постыдное не есть благо»: из них также выводится «ничто постыдное не есть прекрасное», то есть Е, во второй фигуре. Здесь первая посылка – Г, вторая – Δ.

Или же: «всё постыдное есть то, чего следует избегать, ничто, чего следует избегать, не есть прекрасное» – из них также выводится в первой фигуре, что «ничто постыдное не есть прекрасное».

То, что он добавил – «через А и В, а также через А, Г и В, Г» – показывает, что можно брать и другие средние термины, так что не только два, но и больше доказательных силлогизмов могут приводить к одному и тому же заключению. Ведь Е может доказываться иногда через посылки А и В, иногда через А и Г, иногда через В и Г.

Последующие примеры могут служить доказательством иного рода: возможность образования нескольких силлогизмов для одного и того же вывода не только при взятии разных средних терминов в разное время, но и при одном и том же среднем термине, но по-разному. Это и показывает приведённый пример. Ведь, используя один и тот же средний термин, можно иногда вывести предложенное заключение в первой фигуре, иногда – во второй, иногда – в третьей. И очевидно, что силлогизмы будут различаться, поскольку они относятся к разным фигурам.

Это он говорит, чтобы показать, что различаются не только силлогизмы с разными средними терминами и посылками, но даже при тех же самых терминах и тех же самых выводах изменение положения среднего термина и его порядка создаёт различие в силлогизмах.

Так, через А и В он говорит о первой фигуре, через А и Г – о второй, через В и Г – о третьей.

Действительно, если посылки А и В, доказывающие заключение Е, относятся к первой фигуре, то то же самое заключение может быть доказано во второй фигуре при тех же терминах, если посылка А остаётся той же, а посылка В преобразуется, то есть обращается и становится Г. При этом Г будет большей посылкой.

А в третьей фигуре, если В (то есть большая посылка) остаётся той же, что и в первой фигуре, а меньшая посылка преобразуется и становится Г.

Таким образом, одно и то же заключение может быть доказано в трёх фигурах на одних и тех же терминах.

Например, пусть требуется доказать, что «некоторый человек не бел». В первой фигуре это доказывается так:

«Некоторый человек есть эфиоп» (посылка А),

«Ни один эфиоп не бел» (посылка В),

следовательно, «некоторый человек не бел».

Во второй фигуре:

«Некоторый человек есть эфиоп» (посылка А),

«Ни один белый не есть эфиоп» (обращение посылки В, теперь это Г),

и из этого также следует: «некоторый человек не бел».

Здесь посылка А общая с первым доказательством, а Г – другая, поскольку В была обращена, и потому силлогизм другой и фигура – вторая.

В третьей фигуре:

«Ни один эфиоп не бел» (посылка В из первой фигуры),

«Некоторый эфиоп есть человек» (обращение посылки А, теперь это Г),

и из этого снова следует: «некоторый человек не бел».

Здесь посылка В общая с первой фигурой, а Г – своя.

Таким образом, одно и то же заключение доказывается через несколько доказательств не при взятии разных терминов, как было показано сначала, а при тех же самых терминах, по-разному расположенных в соответствии с различиями фигур, и потому получается несколько силлогизмов.

Точно так же можно доказать, что «постыдное не есть прекрасное», через одни и те же термины в трёх фигурах:

– в первой: «всё постыдное есть дурное, ничто дурное не есть прекрасное»;

– во второй: «всё постыдное есть дурное, ничто прекрасное не есть дурное»;

– в третьей: «ничто дурное не есть прекрасное, некоторое дурное есть постыдное» (здесь заключение получается частным).

Можно доказать одно и то же заключение в трёх фигурах и не используя один и тот же средний термин, как сейчас, а беря каждый раз другой.

Пусть, например, нужно доказать, что «некоторый человек не есть лошадь».

– В первой фигуре: «некоторый человек есть грамматик, ни один грамматик не есть лошадь».

– Во второй: «некоторый человек есть музыкант, ни одна лошадь не есть музыкант».

– В третьей: «всё смеющееся есть человек, ничто смеющееся не есть лошадь».

В каждом из этих силлогизмов одно и то же заключение доказано через разные средние термины.

Дополнение к р. 41b38

Логическая гибкость позволяет приходить к одному выводу через разные пути (ὁδοί) – будь то смена терминов или перестройка фигур. Это демонстрирует многообразие (ποικιλία) силлогистического метода.

1. Заключение (συμπέρασμα, Е) может быть доказано разными путями через различные посылки (προτάσεις):

– Через А и В (например: «ничто прекрасное (καλόν) не есть дурное (κακόν)» + «всё постыдное (αἰσχρόν) есть дурное»).

– Через Г и Δ (например: «всё прекрасное есть благо (ἀγαθόν)» + «ничто постыдное не есть благо»).

2. Средние термины (μέσα) варьируются:

– В первом случае «дурное» (κακόν) связывает «прекрасное» и «постыдное».

– Во втором – «благо» (ἀγαθόν).

3. Фигуры силлогизма (σχήματα) меняют форму доказательства:

– Первая фигура (πρῶτον σχῆμα): средний термин – подлежащее в одной посылке, сказуемое в другой (пример: «всё постыдное есть дурное, ничто дурное не есть прекрасное»).

– Вторая фигура (δεύτερον σχῆμα): средний термин – сказуемое в обеих посылках (пример: «ничто прекрасное не есть дурное, всё постыдное есть дурное»).

– Третья фигура (τρίτον σχῆμα): средний термин – подлежащее в обеих посылках (пример: «ничто дурное не есть прекрасное, некоторое дурное есть постыдное»).

Заключение (ἐπίλογος) с примерами по логике:

Одно и то же заключение (Е) доказывается:

– Разными средними терминами:

– «Человек не есть лошадь» через «грамматик», «музыкант» или «смеющееся».

– Одним термином, но разными фигурами:

– «Постыдное не есть прекрасное» через «дурное» в трёх фигурах (см. выше).

Пример из р. 41b38:

– Вывод Е: «ничто постыдное не есть прекрасное».

– Варианты доказательства:

1. Через А («ничто прекрасное не есть дурное») + В («всё постыдное есть дурное») → вторая фигура.

2. Через Г («всё прекрасное есть благо») + Δ («ничто постыдное не есть благо») → тоже вторая фигура.

3. Через иной порядок терминов → первая или третья фигура.

р. 42a1 Или снова, когда каждое из АВ получено через силлогизм.

И таким образом, говорит он, то же самое будет доказано через большее количество терминов, если каждая из посылок, и А, и В, через которые выводилось Е, была взята с предварительным силлогизмом, так что каждая из них является заключением силлогизмов: А – через посылки D, E, а В – через посылки Z, H. Ведь тогда Е будет доказано и через посылки DEZH, но это уже не простой силлогизм, а составной. Ибо необходимо, чтобы то, что выводится из некоторых [посылок], выводилось также и из тех, что выводят эти [посылки], поскольку выводимое потенциально содержится в выводящем.

Например, если бы доказывалось, что «все справедливое полезно», через посылки «все справедливое – благо», «все благо – полезно», и каждая из этих посылок была бы доказана силлогистически: первая – через «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», а вторая – через «все благо – ценно», «все ценное – полезно», то и «все справедливое полезно», которое доказывалось через них, будет выведено.

То, что он говорит сейчас, поясняет нам более ясно составную теорему, изобретателем которой он сам является. Её суть такова:

«Когда нечто выводится из некоторых [посылок], а то, что выводится, вместе с чем-то или с некоторыми [другими посылками] выводит нечто, то и посылки, из которых оно выводится, вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем выводится то [заключение], также выведут то же самое».

Например, посылки А и В, через которые доказывается Г (допустим), как он говорит, также выводят то, что выводится из А и В, а именно Г.

Поскольку «все справедливое – благо», выводимое из «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», выводит вместе с «все благо – полезно» заключение «все справедливое полезно», то и «все справедливое – прекрасно», «все прекрасное – благо», являющиеся посылками для «все справедливое – благо», вместе с «все благо – полезно» выведут «все справедливое полезно», которое выводилось и из них самих вместе с «все благо – полезно».

И если взять «все справедливое – благо» вместе с «все благо – ценно», «все ценное – полезно», выводящими «все справедливое полезно», то и посылки для «все справедливое – благо» вместе с ними выведут то же самое.

Поэтому в формулировке добавлено «с чем-то или с некоторыми».

И таким образом, одно и то же доказывается через большее количество терминов, даже если некоторые из посылок доказаны индуктивно, а другие – силлогистически. Например, А и В, которые были силлогистическими для Е, если А взято индуктивно, а В – через силлогизм.

Опять же, Е будет доказано и из тех, что доказали А индуктивно, и из тех, что доказали В силлогистически.

Например, если доказывается, что «политика стремится к некоторому благу», через посылки «политика – это метод», «всякий метод стремится к некоторому благу», и из них первая – «всякий метод стремится к некоторому благу» – доказана индуктивно (когда мы перебираем искусства и науки, к которым относится метод, и показываем, что они таковы), а вторая – «политика – это метод» – доказана силлогистически (например, через «всякое умение, связанное с разумным рассмотрением подчинённых ему вещей, есть метод; политика же есть умение, связанное с разумным рассмотрением подчинённых ей вещей»).

Или как Платон доказывает в первой книге «Государства», что справедливость – это некая мудрость, а несправедливость – неразумие, так:

«Тот, кто требует большего для неравного, но не требует для равного, – мудр; справедливый же требует большего для неравного, но не требует для равного; следовательно, справедливый – мудр».

Каждую из этих посылок он доказывает, но первую – индуктивно, а вторую – силлогистически.

Индукция здесь такова:

«Тот, кто в вопросах здоровья не требует большего для равного, но требует для неравного, – мудр в этих вопросах. Это врач. Также и тот, кто в музыке не требует преимущества для равного в знании натяжения или ослабления струн, но требует для неравного, – мудр в этом. Это музыкант. И вообще всякий, кто не требует большего для равного, но требует для неравного, – мудр».

А вторую посылку можно вывести силлогистически так:

«Всякий, кто распределяет поровну, не требует преимущества для равного, но требует для неравного; справедливый же распределяет поровну; следовательно, справедливый не требует преимущества для равного, но требует для неравного».

Но такой, как он, – мудр.

Однако и это доказательство не простое, а составное, причём составленное не из нескольких силлогизмов, а из индукции и силлогизма. Поэтому и его анализ будет не сводиться к силлогизмам, как в первом случае (где каждая из посылок в том силлогизме была доказана силлогистически), но анализ этого [доказательства] будет сводиться к индукции и силлогизму, из которых оно и составлено.

Ведь мы анализируем всё рассуждение, утверждая, что А выводится из тех, кто доказал его индуктивно, а В – из своих собственных посылок, а из А и В выводится Е. Следовательно, Е будет выведено и из исходных [посылок], и из доказательных для А, и для В, поскольку, как мы сказали, посылки, из которых что-то выводится, вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем выводится то, что из них доказывается, также выведут [заключение].

Пусть посылки для А – это Г, D; вместе с тем, с чем или с чем-то из того, с чем А выводит то, что из него доказывается, они также выведут [заключение]. Ведь и сам А вместе с В выводил Е, но и вместе с посылками для В (пусть это будут Z, H) он выводил то же самое (а именно Е). Следовательно, и Г, D вместе с Z, H или вместе с В выведут Е.

Дополнение к р. 42a1

Одно и то же можно доказать разными путями – через большее число терминов или комбинируя методы.

1. Составной силлогизм (συλλογισμὸς σύνθετος) – когда заключение (Ε) выводится не напрямую, а через промежуточные силлогизмы.

– Пример:

– А (πᾶν δίκαιον καλόν) → В (πᾶν καλὸν ἀγαθόν) → Г (πᾶν δίκαιον ἀγαθόν)

– В (πᾶν ἀγαθὸν ὠφέλιμον) → Г (πᾶν δίκαιον ὠφέλιμον)

– Итог: Г доказано через А, В, D, E, Z, H.

2. Вывод через большее число терминов (διὰ πλειόνων ὅρων) – если каждая посылка сама доказана силлогистически, то итоговое доказательство становится сложнее.

3. Потенциальное содержание (δυνάμει ἐνυπάρχον) – если X следует из Y, а Y следует из Z, то X потенциально содержится в Z.

4. Смешанное доказательство (ἐξ ἐπαγωγῆς καὶ συλλογισμοῦ) – когда одна посылка доказана индуктивно (ἐπαγωγή), а другая – силлогистически (συλλογισμός).

– Пример (из Платона):

– Индукция: «Врач требует разного для больного и здорового → значит, он мудр».

– Силлогизм: «Справедливый распределяет поровну → значит, он мудр».

Логическая структура (кратко)

– Простой силлогизм: A + B → E.

– Составной: (D + E → A) + (Z + H → B) → E.

– Смешанный: (Индукция → A) + (Силлогизм → B) → E.

p. 42a4 Но и таким образом получается несколько силлогизмов: ведь и заключений несколько, например, и А, и В, и Г.

Г он взял вместо Е, которое было при А, В [и Г], взятом как их заключение. Он говорит, что не один силлогизм получается, в котором силлогизме посылки, доказывающие заключение, суть заключения некоторых других: ибо сколько заключений, столько и силлогизмов. Заключениями же являются и А, и В; ведь они были посылками, доказывающими Г, но сами были заключениями других; но и Г, непосредственно выводимое из А, В. Очевидно, что, когда две посылки доказываются через силлогизмы, два заключения становятся тремя заключениями. Ведь то, что доказано через наведение, не есть силлогизм. Но и там силлогизмов больше, потому что или одна из посылок, или В была доказана через силлогизм, так что и таким образом два силлогизма. Сказав же, что получается не один силлогизм, но столько, сколько заключений.

Дополнение к p. 42a4

Количество силлогизмов равно количеству выводов, включая промежуточные. Чем сложнее цепочка доказательств, тем больше отдельных логических шагов.

В тексте (p. 42a4) разбирается, как из нескольких посылок (ἀρχαί / archai) возникает не один, а несколько силлогизмов (συλλογισμοί / syllogismoi), так как каждое промежуточное заключение (συμπέρασμα / symperasma) само может быть выводом предыдущего рассуждения.

Пример по логике:

1. Если А и В доказывают Г (первый силлогизм),

2. но А и В сами были выведены из других посылок (второй и третий силлогизмы),

то итого три заключения (А, В, Г) и три силлогизма.

Ключевые термины:

– Посылки: ἀρχαί (archai)

– Заключение: συμπέρασμα (symperasma)

– Силлогизм: συλλογισμός (syllogismos)

p. 42a6 Если же все-таки не несколько, но один, то таким образом возможно, чтобы одно и то же заключение получалось через несколько.

Если кто-либо, говорит он, признает и такой один силлогизм, поскольку он способствует доказательству последнего заключения и доказательствам посылок, то не об этом, говорит он, следует спорить, но нужно знать, что таким образом и этим способом возможно, чтобы одно и то же заключение получалось через несколько терминов и посылок, содержащих в целом рассуждении несколько заключений. Но как Г через Δ, В невозможно, то есть «но таким образом, как что-либо доказывается через две посылки, соединять и через несколько непосредственно взятых посылок, которые не выводят ничего другого, кроме предложенного заключения, невозможно».

Дополнение к p. 42a6

1. Единый силлогизм (συλλογισμός) – если заключение (ἐπίλογος) выводится через несколько терминов (ὅροι) и посылок (προτάσεις), но в рамках одного логического процесса, это допустимо.

2. Множественность выводов – одно итоговое заключение может быть достигнуто разными путями, если промежуточные шаги (промежуточные заключения) ведут к нему.

3. Ограничение – но нельзя просто соединять произвольные посылки (как в примере «Г через Δ, В»), если они не связаны строгой логической необходимостью (ἀνάγκη) и не ведут напрямую к нужному выводу.

Заключение по логике с примерами:

– Пример 1 (допустимо):

Посылка 1: Все люди (ἄνθρωποι) смертны (θνητοί).

Посылка 2: Сократ (Σωκράτης) – человек.

Промежуточный вывод: Сократ смертен.

Итог: Этот вывод – часть большего рассуждения (например, о природе смертности).

– Пример 2 (недопустимо):

Бессвязные посылки: «Дождь идёт (ὑετός)», «Солнце (ἥλιος) светит» → не выводят логичного заключения.

Ключевое правило: Логическая цепочка должна сохранять необходимость (как у Аристотеля в «Аналитиках»), а не быть набором разрозненных утверждений.

p. 42a8

Пусть Е будет заключением, полученным из посылок АВ и ГД. Следовательно, необходимо, чтобы одно из них было взято по отношению к другому.

То, что всякий силлогизм доказывается через три термина и две непосредственные посылки, показывается через гипотезу. Ибо если возможно доказать через большее, пусть Е будет доказано через посылки А, В, Г, Δ. Доказательство проводится в первой фигуре. Как бы оно ни было показано в этом случае, так же будет и в других фигурах.

Итак, если Е доказывается силлогистически через посылки А, В, Г, Δ, то необходимо, чтобы среди них одно было как целое, а другое как часть, то есть одна посылка должна быть общей, а другая – подчиненной ей. Иначе силлогизм невозможен, если не взято одно как общее, а другое как частное и содержащееся в нем.

Ибо это, говорит он, было доказано: если есть силлогизм, то необходимо, чтобы некоторые из терминов, доказывающих искомое, относились друг к другу так, что один содержит, а другой содержится. Это было показано и немного ранее, и он сам сказал это при перечислении и изложении силлогизмов. Ибо это было первое возникновение силлогизмов: через то, что одно содержится в другом, и через то, что одно говорится обо всем другом, были найдены эти недоказуемые силлогизмы.

Но не только термины должны так относиться друг к другу, но и из посылок одна должна быть общей по отношению к искомому, которую мы называем большей, а другая – меньшей и подчиненной ей.

Это должно происходить и в посылках А, В, Г, Δ: одна должна быть общей, другая – подчиненной ей, если что-то будет выведено из них силлогистически.

Пусть посылки А и В так относятся друг к другу. Тогда, если они так соотносятся, очевидно, что из них будет что-то выведено. Ибо когда две посылки взяты так по отношению друг к другу, из них необходимо следует что-то, и доказывается силлогистически то, что доказывается и выводится из посылок А и В, так относящихся друг к другу.

То есть либо само Е, которое было искомым для доказательства из посылок А, В, Г, Δ, либо одно из Г или Δ, которые также были взяты вместе с А и В для доказательства Е, либо ни Е, ни Г, ни Δ, а что-то другое помимо всего этого.

Если же Е, то оно было бы выведено только из двух – А и В, а не из предполагаемых четырех, а остальные две – Г и Δ, то есть две оставшиеся посылки.

Если и они так относятся друг к другу, что одна является общей (большей посылкой), а другая – меньшей и подчиненной, так что из них образуется силлогистическая связь, то из них также будет что-то выведено силлогистически – либо само Е, либо одно из В, либо что-то другое помимо них.

Если Е выводится и из них, как и из А и В, то будет несколько силлогизмов одного и того же. Ибо было доказано, что если одно и то же заключение получается через разные посылки, то силлогизмов несколько.

Но если одно из А или В выводится из Г или Δ, то и так силлогизмов будет несколько, поскольку одна из посылок А или В, которые были силлогистическими для Е, становится заключением для посылок Г и Δ.

Такое сочетание соответствует третьему так называемому молодыми тезису, который подпадает под упомянутое нами составное теорему.

Ибо если из некоторых посылок что-то выводится, а выведенное вместе с чем-то или с некоторыми другими посылками выводит что-то еще, то и те, что выводят его, вместе с тем, с чем или с чем-то другим они выводят это, также выведут то же самое.

Третий так называемый тезис имеет следующее содержание: «Когда из двух посылок выводится третье, а одна из них берется извне силлогистически, то из оставшейся и из внешних силлогистических посылок другого будет выведено то же самое».

Если же кто-то захочет назвать силлогизм, полученный через предварительный силлогизм, единым силлогизмом, как мы сказали, на том основании, что одно и то же может быть выведено через большее количество терминов, то и это рассуждение будет верным.

Ибо не потому, что непосредственные доказывающие посылки Е многочисленны, силлогизм будет через большее количество терминов, а потому, что среди непосредственных доказывающих посылок Е некоторые или одна из них являются заключениями других рассуждений и силлогизмов.

Если же ни Г, ни Δ не являются силлогистическими для В или Е, ни одна из А или В не является силлогистической для другой, но выводится что-то другое, то силлогизмов также будет несколько, и они будут несвязанными, не имеющими ничего общего друг с другом.

Ибо ни сами Г и Δ не связаны с Е, ни то, что доказывается из них, если А и В доказывают Е, а Г и Δ относятся к чему-то другому и не относятся ни к Е, ни к одной из А или В.

Если же посылки Г и Δ не относятся друг к другу так, чтобы из них силлогистически что-то выводилось, то они не являются необходимыми (ибо без их взятия Е могло бы быть выведено из А и В), но взяты напрасно, то есть излишне и бесполезно, если только не ради индукции, чтобы подтвердить что-то из доказывающего Е через них (ибо в индукции доказывающие что-то посылки не являются одними как целое, другие как часть; ведь ничего не силлогизируется), или ради сокрытия, чтобы через их введение собеседник легче соглашался с силлогистическими посылками искомого, скрывая их среди других и не позволяя очевидному из принятого становиться явным и узнаваемым.

Ибо те, кто не знает, что последует из принятого, легче соглашаются, что и делают посылки, вводимые извне ради сокрытия заключения. Это делают диалектики и софисты.

Слова «или чего-то другого» сказаны вместо «увеличения» или «для большей ясности рассуждения». Ибо посылки, взятые сверх необходимых, обычно берутся ради чего-то из этого, как он показал в последней книге «Топики».

Через индукцию – когда общая посылка требует подтверждения, как мы показали в рассуждении, выводящем, что всякое политическое благо к чему-то стремится. Ибо посылка «всякий метод стремится к какому-то благу» доказывалась через индукцию.

Но и в силлогизирующем рассуждении, что справедливый – мудр, посылка, говорящая, что всякий, кто не требует большего для подобного себе, но для неподобного, – мудр, доказывалась через индукцию.

Увеличения – когда кто-то хочет расширить рассуждение, как часто делают писатели. Ибо, начав с одних только голых посылок, доказывающих искомое, они вводят извне некоторые другие ради украшения и увеличения рассуждения или для объяснения природы вещей, упомянутых в посылках, или вплетая что-то еще в рассуждение.

Например, если кто-то, желая доказать, что прекрасное полезно, возьмет посылку «все прекрасное – благо», затем добавит что-то о прекрасном, говоря, что прекрасное по своей природе достойно похвалы и желательно само по себе. Ибо прекрасное притягивает к себе и желательно само по себе. Но оно также имеет величайшую долю в счастье.

Тот, кто берет это не для обоснования того, что прекрасное желательно (поскольку это не оспаривается), и не как относящееся к доказательству искомого, но добавляет это ради увеличения рассуждения, придает ему некую объемность, избегая сухости и голости искусства.

Сокрытие же, говорит он, нужно для того, чтобы отвечающий не раздражался и не отказывался, но легче соглашался с кажущимся, не видя, что последует.

Например, если кто-то, желая доказать, что здоровье – благо, взяв, что здоровье полезно для блага, не сразу спросит: «Полезное для блага – благо?» – потому что возражающий не даст очевидного из данного, но спросит среди прочего, например: «Является ли благим тот, кто имеет добродетели?», «Является ли добродетель благом, как достойная похвалы?», «Желательна ли она сама по себе?» – что ничего не добавляет к тому, что он хочет доказать, но разрывает связность посылок, ведущих к искомому.

Затем после этого он исследует, может ли полезное для блага когда-либо быть злом или всегда является благом. Ибо так он легче получит это, чем если бы сразу спросил об этом.

То же самое можно получить и через индукцию, сказав: «Как музыкальное для музыкального – музыкально, и строительное для строителя – строительно, так и благое для блага – благо».

Ясности – когда, если силлогистические посылки искомого неясны, для их ясности вводятся некоторые другие, как берутся посылки через сравнение.

Желая взять, что все подобное – одно и то же, следует сравнить: «Ибо и неподобное – иное», и что знание противоположностей – одно, желая взять, следует сравнить, что и ощущение противоположностей – одно и то же.

Дополнение к p. 42a8

Силлогизм строг – только необходимые термины и посылки ведут к заключению. Всё остальное – либо вспомогательные приёмы, либо ошибки.

1. Силлогизм (συλλογισμός) требует:

– 3 термина (τριῶν ὄντων) и 2 посылки (δύο προτάσεων).

– Одна посылка – общая (καθόλου), другая – частная (ἐν μέρει).

2. Связь терминов:

– Один термин содержит (περιέχει), другой содержится (περιέχεται).

– Пример:

– Все люди смертны (καθόλου). Сократ – человек (ἐν μέρει). ∴ Сократ смертен (συμπέρασμα).

3. Избыточные посылки (περιττὰς προτάσεις) возможны для:

– Индукции (ἐπαγωγή) – подтверждение через примеры («Все методы стремятся к благу»).

– Увеличения (αὔξησις) – украшение аргумента («Прекрасное – благо, ибо оно достойно похвалы»).

– Сокрытия (κρύψις) – маскировка вывода («Здоровье полезно для блага. Но разве добродетель не благо?»).

– Ясности (σαφήνεια) – пояснение через сравнения («Знание противоположностей едино, как и их ощущение»).

4. Логические ошибки:

– Если посылки не связаны как общее-частное, силлогизм не работает.

– Лишние посылки без цели – бесполезны, если только не для риторики.

Пример по логике:

– Правильно:

– Все птицы (A) летают (B). Воробей (Г) – птица (A). ∴ Воробей (Г) летает (B).

– Ошибка:

– Добавление «Пингвин – птица» без связи с выводом – избыточно.

р. 42a24 Если же из А и В получается не Е, а что-то другое.

Ранее приняв, что из посылок А и В следует Е, и аналогично рассуждая о Г и Δ, теперь он исследует, если бы из А и В не следовало Е, а что-то другое. Итак, говорит он, если из А и В следует что-то другое, а не Е, а из Г и Δ – либо одна из посылок А или В, либо что-то внешнее, то и силлогизмов будет несколько (ибо и выводов несколько: один для А и В, другой для Г и Δ, будь то А или В или что-то внешнее), и, кроме того, не будет доказано и выведено то, что требовалось: ибо предполагалось, что выводом будет Е. Если же А и В выводят что-то внешнее, а Г и Δ ничего не доказывают, то силлогизм будет один, но не о требуемом: ибо не Е доказывается через А и В, а что-то другое; а Г и Δ «будут взяты напрасно» и поставлены. То же самое рассуждение, если Г и Δ выводят что-то внешнее, а А и В ничего.

Или же слова «если же из Г и Δ ничего не получается» написаны вместо «если же из А и В ничего не получается»: ибо о Г и Δ это уже было сказано, а о А и В осталось еще сказать. Ибо если бы это было не так, то одно и то же было бы сказано дважды о Г и Δ, а о А и В было бы упущено.

Показав это, он справедливо добавляет, что всякий силлогизм происходит через три термина и две посылки: ибо даже составные силлогизмы имеют две непосредственно доказывающие посылки. Ибо три термина образуют две посылки, если только не происходит обращения какой-либо из посылок или даже обеих: ибо тогда может показаться, что из трех терминов получается больше посылок.

Обращения мы принимали для завершения несовершенных силлогизмов: а таковыми были силлогизмы во второй и третьей фигурах. Но и в них силлогизм происходит из двух посылок: ибо обращенную посылку мы принимали вместо той, к которой она обращалась, чтобы доказать вывод, но не обе.

Он необходимо показывает, что всякий силлогизм завершается через три термина: ибо это полезно ему для того, чтобы показать, что фигур только три. Ибо при наличии трех терминов положение среднего не может иначе относиться к крайним, кроме как в тех трех фигурах, где определено его отношение к ним.

Дополнение к р. 42a24

Силлогизм либо доказывает нужное (через 3 термина и 2 посылки), либо становится бесполезным, если вывод отклоняется от Е. Структура фигур неизменна из-за позиции среднего термина.

1. Исходный силлогизм (συλλογισμός):

– Из посылок (προτάσεις) А и В следует вывод (συμπέρασμα) Е.

– Если же из А и В выводится не Е, а иное (ἄλλο), то:

– Либо возникает несколько силлогизмов (если Г и Δ дают А/В или внешний термин).

– Либо силлогизм один, но доказывает не Е (если А и В выводят нечто внешнее, а Г и Δ бесполезны – «взяты напрасно», μάτην εἰλῆφθαι).

2. Структура силлогизма:

– Всегда требует трёх терминов (ὅροι) и двух посылок (προτάσεις).

– Даже сложные силлогизмы сводятся к двум непосредственным посылкам.

– Обращение (αντιστροφή) посылок используется для завершения несовершенных силлогизмов (вторая и третья фигуры), но не добавляет новых посылок.

3. Цель:

– Доказать, что только три фигуры (σχήματα) возможны, так как средний термин (μέσος ὅρος) может занимать лишь три позиции относительно крайних (ἄκροι).

Пример по логике:

– Правильный силлогизм:

– А: Все люди (B) смертны (A).

– В: Сократ (Γ) – человек (B).

– Вывод Е: Сократ смертен (A).

– Ошибка (вывод не Е):

– А и В: «Все птицы летают. Пингвин – птица».

– Вывод не «пингвин летает» (Е), а «пингвин не летает» (ἄλλο).

– Г и Δ (если добавлены): «Пингвины плавают» – не связаны с исходным выводом, взяты «напрасно».

р. 42a35 Итак, очевидно, что в силлогистическом рассуждении, где посылки, через которые получается главный вывод, не четны.

«Четны» вместо «две»: ибо он показал, что всякий простой и единый силлогизм происходит из трех терминов и двух посылок.

А «силлогистическом» добавил потому, что есть и наводящие рассуждения, которые тоже происходят через посылки, но не обязательно через две.

И слова «через которые получается главный вывод» указывают на непосредственные посылки, через которые непосредственно доказывается требуемый вывод: ибо ничто не мешает тому, чтобы среди посылок, непосредственно доказывающих искомое, было какое-то следствие других посылок, как это было показано в случае составных силлогизмов.

Дополнение к р. 42a35

Четкость силлогизма – в строгости связи терминов и посылок, а не в их количестве.

1. Силлогизм (συλλογισμός) требует:

– 3 термина (ὅροι) и 2 посылки (προτάσεις) для основного вывода.

– Аристотель (р. 42a35) уточняет: посылки не обязательно «четны» (ἄρτιαι, т.е. две), но в простом силлогизме их всегда две.

2. Исключения:

– Наводящие рассуждения (ἐπαγωγή) могут использовать больше посылок.

– Главный вывод (τελικὸν συμπέρασμα) зависит от непосредственных посылок (ἄμεσαι προτάσεις), даже если другие посылки – их следствия (как в составных силлогизмах).

Пример по логике (λόγος):

– Простой силлогизм:

Все люди смертны (1 посылка). Сократ – человек (2 посылка). ∴ Сократ смертен (вывод).

– Составной силлогизм:

Если A → B, и B → C, то A → C (здесь B – следствие A, но C доказывается через непосредственную связь B → C).

р. 42a37 Ибо некоторые из ранее полученных выводов необходимо являются посылками.

То есть: ибо некоторые из ранее и первоначально доказанных выводов, возникших на основе других посылок, необходимо являются посылками для последующих. Ибо ничто не мешает тому, чтобы вывод одних посылок сам был посылкой для другого вывода.

А если таких посылок, через которые непосредственно получается вывод, не две, то, как он говорит, из ранее сказанного очевидно, что это рассуждение или не является силлогизмом, или содержит больше необходимого для поставленной задачи.

Ибо если ни А и В, ни Г и Δ, которые были поставлены для вывода Е, ничего не выводят, то вообще не будет никакого силлогизма. А если выводятся какие-то другие вещи, то это не будет силлогизмом о требуемом.

Если же одни две посылки доказывают Е, а другие две – что-то другое или ничего, то они взяты напрасно в обоих случаях: ибо если что-то другое, то силлогизмов несколько, а если ничего, то они взяты напрасно. Напрасно – в отношении доказательства Е, даже если они выводят что-то внешнее: и в этом случае взято больше необходимого.

Дополнение к р. 42a37

1. Некоторые выводы становятся посылками (συμπεράσματα → προτάσεις).

Ранее доказанные заключения (ἀποδεδειγμένα) могут служить посылками для новых умозаключений.

2. Силлогизм (συλλογισμός) требует двух посылок.

Если для вывода (συμπέρασμα) Е недостаточно двух непосредственных посылок (προτάσεις), то:

– Либо это не силлогизм,

– Либо в нём есть избыточность (περιττός).

3. Примеры по логике:

– Не силлогизм: Если А+В и Г+Δ не выводят Е, то вывода нет.

– Избыточность: Если А+В доказывают Е, а Г+Δ – что-то иное (например, Z), то это лишнее (περιττός).

Заключение

Аристотель подчёркивает строгость силлогистики:

– Минимум посылок (δύο προτάσεις) для вывода.

– Ничего лишнего (οὐδὲν περιττόν).

Пример:

– Правильно: «Все люди смертны (A); Сократ – человек (B); ∴ Сократ смертен (E)».

– Ошибка: Добавить «Все птицы летают (Г+Δ)» – это избыточно для вывода о Сократе.

р. 42b1 Итак, если силлогизмы берутся через главные посылки.

«Главными посылками» он называет те, которые непосредственно доказывают и выводят искомое, и показал, что их две.

Это же он говорит и теперь: если мы берем главные посылки вывода, непосредственно его доказывающие, то в каждом силлогизме посылок будет две (ибо «четные» снова приняты в значении «две»), а термины нечетны: ибо их три, как было показано, из которых образуются непосредственные посылки.

И что три на два больше одного, очевидно. Но и то, что выводы вдвое меньше непосредственных посылок, тоже очевидно: ибо посылок две, а вывод из них один.

Тот, кто берет А для В, В для Г, Г для Δ и выводит, что А для Δ, не доказал вывод через главные и непосредственные посылки: ибо главные и непосредственные посылки – это «А для Г» и «Г для Δ», а А В и В Г непосредственно доказывают А Г, которое, будучи выводом из них, становится посылкой, непосредственно доказывающей вывод А Δ.

Дополнение к р. 42b1

Логика чётности/нечётности: 3 термина – 2 посылки = 1 вывод.

1. Главные посылки (ἀρχαὶ προτάσεις) – это непосредственные (ἄμεσα) посылки, напрямую доказывающие вывод. Их всегда две (δύο).

2. Термины (ὅροι) в силлогизме – три (τρεῖς), например:

– А → В → Г (Δ – пример расширения цепи).

3. Числовая логика:

– Терминов = 3 (нечёт), посылок = 2 (чёт).

– Выводов = 1 (вдвое меньше посылок).

Пример по логике:

– Непосредственные посылки: «А для Г» (Α Γ) и «Г для Δ» (Γ Δ) → вывод «А для Δ» (Α Δ).

– Непрямое доказательство: Если добавить промежуточные шаги (А→В→Г→Δ), главными остаются только крайние звенья (А Γ и Γ Δ).

Заключение:

Силлогизм строится на двух главных посылках (δύο προτάσεις) и трёх терминах (τρεῖς ὅροι), где вывод (συμπέρασμα) – единичен. Пример:

– Посылки: «Все люди смертны» (В Γ), «Сократ – человек» (Α В).

– Вывод: «Сократ смертен» (Α Γ).

р. 42b5 Когда же [доказательство] завершается через предварительные умозаключения или через несколько несмежных средних терминов.

Сказав, что в каждом силлогизме есть два непосредственных положения, которые собственно доказывают предложенное заключение, и потому они четные, и три таких термина, из которых состоят два положения, а потому терминов нечетное число и на один больше [чем положений], теперь он говорит: если берутся не только собственные и непосредственные положения, но и они сами являются заключениями других [умозаключений], поскольку не недоказуемы, и берутся также доказывающие положения для этих положений – это и есть [доказательство] через предварительные умозаключения.

Когда же непосредственные и собственные положения предложенного заключения сами доказываются через умозаключения (ибо предварительные умозаключения для положений, взятых для доказательства некоторого заключения, становятся предварительными умозаключениями последнего и из них образуется умозаключение), то он говорит «через предварительное умозаключение», когда каждое из собственных положений последнего силлогизма сначала выводится через соответствующие положения, и, сделав эти положения заключениями, мы берем их для доказательства предложенного [заключения].

Например, если бы было что-то, доказываемое непосредственно из АГ и ГЕ, а само АГ доказывалось бы через АВ и ВГ, а ГЕ – через ГД и ДЕ. Ибо когда мы сначала выводим АГ, затем ГЕ, а потом берем АГ и ГЕ как доказывающие АЕ, то мы осуществляем доказательство через предварительные умозаключения.

Не имеет значения, в какой бы то ни было фигуре были сделаны предварительные умозаключения: рассуждение то же самое, будь они в одной и той же или в разных [фигурах].

А [доказательство] через несколько смежных средних терминов бывает, когда, взяв несколько последовательно смежных положений, мы больше не берем получающиеся из них заключения как доказывающие предложенное, а берем все положения как доказывающие предложенное. Ибо когда мы так поступаем, мы предварительно умозаключаем потенциально, а не актуально.

Например, если мы возьмем «А принадлежит всякому В», «В принадлежит всякому Г», «Г принадлежит всякому Δ», «Δ принадлежит всякому Е», то «А принадлежит всякому Е». Ибо здесь, взяв смежные положения и не выделяя получающиеся из них заключения, мы используем их все, как если бы из них всех вместе выводилось заключение АЕ.

В такой последовательности положений есть и составная теорема, о которой мы уже говорили, и так называемые у более поздних [авторов] накладывающиеся и накладываемые [силлогизмы].

Составная теорема относится к [силлогизмам] из предварительных умозаключений. Ибо когда из некоторых [посылок] выводится нечто, взятое как заключение, и оно вместе с одним или несколькими [другими посылками] снова что-то выводит, то и выводящие его [посылки], с которыми или с которыми оно выводило то [заключение], выведут то же самое.

А так называемые накладывающиеся и накладываемые [силлогизмы] относятся к последовательно взятым положениям без заключений. Накладываемыми являются те, у которых опущено заключение, а накладывающими – те, у которых опущена доказывающая посылка. Ибо опущенные заключения накладываемых силлогизмов, которые первые по порядку, являются доказывающими посылками для накладывающих, которые вторые по порядку.

Например:

«А принадлежит всякому В»,

«В принадлежит всякому Г»,

«Г принадлежит всякому Δ»,

«А принадлежит всякому Δ».

Накладываемым является первый [силлогизм], у которого опущено заключение «А принадлежит всякому Г». А накладывающим – [силлогизм], выводящий из опущенного [заключения] «А принадлежит всякому Г» и «Г принадлежит всякому Δ», чье заключение: «Следовательно, А принадлежит всякому Δ».

В приведенных примерах и накладывающий, и накладываемый [силлогизмы] – в первой фигуре. Но по этому же принципу силлогизм из второй фигуры может накладываться на силлогизм из первой фигуры.

Например:

«А принадлежит всякому В»,

«В принадлежит всякому Г»,

«А не принадлежит ни одному Δ».

Здесь накладываемый [силлогизм] – в первой фигуре, его заключение «А принадлежит всякому Г», а накладывающий на него – во второй фигуре, у которого посылки: «А принадлежит всякому Г» (опущенное заключение первого) и «А не принадлежит ни одному Δ», а заключение: «Г не принадлежит ни одному Δ».

Может быть и наоборот: накладываемый – во второй фигуре, а накладывающий – в первой.

Например:

«А не принадлежит ни одному В»,

«А принадлежит всякому Г»,

«Г принадлежит всякому Δ»,

«Следовательно, В не принадлежит ни одному Δ».

Здесь опущено заключение первого [силлогизма], который во второй фигуре: «В не принадлежит ни одному Г». А из него и «Г принадлежит всякому Δ» в первой [фигуре] выводится «В не принадлежит ни одному Δ».

Таким же методом можно взять и накладывающие, и накладываемые [силлогизмы] из третьей фигуры по отношению к некоторым из первой или второй. Но также и из одних и тех же фигур по отношению друг к другу: одни в первой [фигуре] по отношению друг к другу, другие во второй, и так же в третьей.

Более того, можно взять три силлогизма из трех фигур как накладывающие и накладываемые согласно переданной составной теореме.

Те, кто был около Аристотеля, передали ее, соразмерив с потребностью, насколько она простиралась, а стоики, приняв ее от них и разобрав, сделали из нее так называемые у них второе, третье и четвертое θέματα, пренебрегши полезным, но изложив и стремясь ко всему, что только можно было сказать в таком исследовании, даже если оно бесполезно.

Об этом было показано в других [местах].

Показав, когда [доказательство] бывает через предварительные умозаключения, а когда – через несколько смежных средних терминов, например, АВ через Г и Δ, он говорит:

Если есть заключение АВ, и оно доказывается через средние термины Г, Δ (то есть «А принадлежит всякому Г», «Г принадлежит всякому Δ», «Δ принадлежит всякому В»), то оно будет через предварительные умозаключения, если сначала вывести «А принадлежит всякому Δ» через Г, а затем, взяв или также выведя «Δ принадлежит всякому В» через Е, взять АД и ДВ как доказывающие посылки заключения АВ.

А через несколько смежных средних [терминов] – если просто взять «А принадлежит всякому Г», «Г принадлежит всякому Δ», «Δ принадлежит всякому В» и применить к ним «Следовательно, А принадлежит всякому В».

Ибо это различие между [доказательством] через предварительные умозаключения и через несколько смежных средних терминов. В обоих случаях заключение АВ [выводится] через средние термины Г, Δ.

В таких сложных силлогизмах количество терминов, как он говорит, точно так же будет на единицу превышать количество положений, как и тогда, когда брались только собственные положения предложенного заключения.

Однако теперь положения не всегда будут четными, а термины нечетными, как было в простых силлогизмах, но наоборот, хотя соотношение сохраняется.

Ибо когда положения четные, термины нечетные, а когда положения нечетные, термины четные. Так термины всегда будут на единицу больше положений.

И выражение у него такое:

«Когда положения четные, термины нечетные, а когда термины [четные], положения [нечетные]».

Здесь ошибка, ибо дважды сказано одно и то же. Должно быть:

«Когда же термины четные, положения нечетные»,

как мы и предположили, добавив «нечетные».

Термины и положения попеременно будут нечетными и четными.

Причина того, что количество терминов на единицу превышает количество положений и они попеременно бывают четными и нечетными, заключается в том, что изначально в простых силлогизмах терминов на один больше, чем положений (ибо положений было два, а терминов – три), а с каждым добавлением термина добавляется и промежуток, то есть положение.

При таком положении дел изначальный избыток терминов сохраняется. Ибо когда к неравным [количествам] прибавляются равные, разница между ними остается той же, какой была до прибавления равных.

Так, если к трем терминам добавить один, терминов станет четыре (четное число), а положений – три (нечетное). Ибо к двум положениям добавилось третье из-за добавления термина: ведь вместе с добавлением термина добавляется и положение, как мы сказали.

А слова «ибо добавляемый термин будет помещен либо снаружи, либо в середину» он сказал либо из-за различий фигур (ибо добавляемый термин будет снаружи, если заключение должно быть доказано во второй или третьей фигуре, а в середине – если в первой), либо не это он имеет в виду.

Ибо Δ не был взят в середине между АВ или ВГ, а был крайним к Г. Но, возможно, сказанное проще:

Добавляемый термин будет помещен либо снаружи, либо в середину – снаружи, если он взят перед А как сказуемое для А или после Г как подлежащее для Г; в середину – если он между АВ или ВГ.

Ибо где бы и откуда бы он ни был добавлен, вместе с ним добавляется и одно положение.

При двух положениях, АВ и ВГ, если мы возьмем термин Δ перед А, добавится и положение ДА, которого не было среди данных, или само [А].

Если же [Δ добавится] между АВ, то будут два положения, АД и ДВ, вместо одного.

Но если [Δ добавится] между ВГ, то снова будут ВД и ДГ.

А если снаружи после Г, то аналогично снова добавится ГД к данным.

Таким образом, положения и термины всегда сохраняют эту взаимосвязь и порядок, а заключения не всегда будут иметь тот же порядок по отношению к терминам или положениям.

И он добавил причину:

Ибо с добавлением одного термина добавляется на единицу меньше заключений, чем имеющихся терминов.

Причина в том, что добавленный термин не образует заключения только с последним из данных терминов, если добавление произошло после него.

Например, если есть термины А, В, Г, и добавится Δ, то будет заключение и для А относительно Δ, и для В относительно Δ.

А для А относительно Г уже было.

Таким образом, при трех исходных терминах добавление одного термина добавило два заключения – на единицу меньше исходного количества терминов.

Но для Г относительно Δ заключения не будет, потому что между ними нет среднего термина.

Итак, с добавлением одного термина добавилось два заключения.

При трех терминах было одно заключение (АГ), два положения и три термина.

С добавлением четвертого термина добавляется два заключения, и всего становится три заключения.

Но и положений становится три, а терминов – четыре.

Если же добавится еще один термин, то добавится одно положение, так что всего их будет четыре, терминов – пять, а добавленных заключений будет на единицу меньше, чем имеющихся терминов.

Терминов было четыре, значит, добавится три заключения.

А для данных четырех терминов уже было три [заключения], так что всего будет шесть заключений при пяти терминах и четырех положениях.

Таким образом, заключений больше, и тем больше, чем больше терминов добавляется.

Ибо с каждым добавлением термина заключений становится значительно больше по указанной причине.

Сказав, что если термин добавлен снаружи, то он не образует заключения только с последним из данных перед ним терминов, он говорит, что даже если он помещен в середину, добавленных заключений будет на единицу меньше, чем исходных терминов до его добавления.

Ибо и этот [термин], будучи помещен, не образует заключения только с одним из данных терминов.

Пусть даны термины А, В, Г, выводящие заключение АГ, и между АВГ вставлен термин Δ.

Тогда добавленными заключениями к АГ будут АВ через Δ и ДГ через В.

Таким образом, добавилось два заключения, но не оба относительно него [Δ], а одно относительно самого Δ (ДГ), а другое через него (АВ), которое стало заключением из-за добавления Δ, не будучи им ранее.

Таким образом, слова «ибо только с одним он не образует силлогизма» означают, что он не станет причиной образования заключения только для одного промежутка.

Ибо для АΔ.

А относительно В, хотя он сам и не образует заключения, но становится причиной заключения АВ.

А если он причина, то сам и образует [его].

Дополнение к р. 42b5

1. Доказательство через предварительные умозаключения (δι» ἐπιλόγων)

– Если заключение доказывается через промежуточные силлогизмы (т.е. его посылки сами являются выводами других силлогизмов), то это доказательство «через предварительные умозаключения».

– Пример (παράδειγμα):

– Нужно доказать АЕ.

– Сначала доказываем АГ через АВ и ВГ, затем ГЕ через ГД и ДЕ.

– После этого АГ и ГЕ становятся посылками для АЕ.

2. Доказательство через несколько смежных средних терминов (διὰ πλειόνων μέσων)

– Если берутся несколько связанных посылок подряд, а их промежуточные выводы не выделяются, то это доказательство «через несколько средних терминов».

– Пример:

– А → В → Г → Δ → Е (где каждая связь – отдельная посылка).

– Заключение АЕ выводится сразу из всей цепочки, без промежуточных выводов (АГ, ГЕ и т.д.).

3. Составная теорема (σύνθετος θεώρημα) и накладывающиеся силлогизмы (ἐπισυνάπτοντες / ἐπισυναπτόμενοι)

– Составная теорема – это цепь силлогизмов, где вывод одного становится посылкой для другого.

– Накладываемые силлогизмы – те, где пропущен вывод (например, АГ в цепочке А → В → Г).

– Накладывающие силлогизмы – те, где пропущена посылка, но используется вывод предыдущего.

– Примеры:

– Накладываемый:

– А → В → Г (пропущен вывод АГ).

– Накладывающий:

– АГ + Г → Δ ⇒ АΔ (используется пропущенный ранее АГ).

4. Зависимость числа терминов (ὅροι) и посылок (προτάσεις)

– В любом силлогизме терминов на 1 больше, чем посылок.

– Если посылок чётное число, терминов – нечётное, и наоборот.

– Пример:

– 2 посылки (АВ, ВГ) → 3 термина (А, В, Г).

– 3 посылки (АВ, ВГ, ГΔ) → 4 термина (А, В, Г, Δ).

5. Логика добавления терминов

– Каждый новый термин добавляет одну посылку и на единицу меньше выводов, чем было терминов до добавления.

– Пример:

– Было А, В, Г (1 вывод АГ).

– Добавили Δ → новые выводы АΔ, ВΔ (но не ГΔ, так как нет среднего термина).

Заключение (ἐπίλογος)

– Предварительные умозаключения – явное выделение промежуточных выводов.

– Несколько средних терминов – скрытая цепочка без явных промежуточных шагов.

– Соотношение терминов и посылок всегда сохраняется: термины = посылки +1.

Пример для наглядности:

– Предварительное:

– А → В → Г ⇒ АГ (явный вывод), затем АГ + Г → Δ ⇒ АΔ.

– Несколько средних:

– А → В → Г → Δ ⇒ АΔ (без выделения АГ).

Таким образом, структура сложных силлогизмов подчиняется строгим правилам, а их анализ требует внимания к связям между терминами и посылками.

р. 42b24 Ибо относительно одного только термина он не построит силлогизма.

О последнем термине он говорит снова: ибо он будет, даже если средний термин вставлен, не образующий силлогизм относительно одного только термина, ведь относительно предшествующего ему термина. Поскольку средний термин, будучи вставлен, не создает заключений ни относительно одного из тех, между которыми он является средним, создавая все выводы относительно других.

р. 42b27 Поскольку же мы имеем [знание] о том, относительно чего строятся силлогизмы, и какое [заключение] получается в каждой фигуре.

«Поскольку мы имеем», говорит он, знание о том, относительно чего строятся силлогизмы (ибо это касается проблем, а их четыре: два общих – либо утвердительных, либо отрицательных, и два частных, подобным образом – одно утвердительное, другое отрицательное), мы также знаем, какое [заключение] получается в каждой фигуре и сколькими способами решается каждая из проблем (ибо общее утвердительное доказывается только в первой фигуре и единственным способом, посредством одного силлогизма; общее отрицательное – и в первой, и во второй фигуре, единственным способом в первой, ибо через один силлогизм, а двумя способами во второй, ибо через два силлогизма; частное утвердительное – и в первой, и в третьей фигуре, единственным способом в первой и тремя способами в третьей; частное отрицательное – во всех трех фигурах, но в первой – единственным способом, во второй – двумя, в третьей – тремя). Поскольку это очевидно, говорит он, то ясно также, какая из проблем легче поддается доказательству, а какая – нет. Ибо то, что доказывается в большем числе фигур и через большее число силлогизмов (ибо он говорит либо о формах, либо о сочетаниях силлогизмов), является проблемой, легче поддающейся доказательству: ведь то, что доказывается через большее число [способов], имеет больше возможностей для доказательства, потому и легче поддается; а то, что [доказывается] в меньшем числе [фигур] и через меньшее число силлогизмов, труднее и сложнее.

Частное отрицательное доказывается в наибольшем числе фигур и через наибольшее число силлогизмов. Ибо только эта проблема из всех доказывается в трех фигурах и через шесть силлогизмов. Под «формами» же он, возможно, понимает различия силлогизмов в каждой фигуре, зависящие от взаимного отношения посылок: ибо их взаимные отношения он назвал «формами».

После частного отрицательного легче, пожалуй, доказать частное утвердительное: оно доказывается и через первую, и через третью фигуру, посредством четырех силлогизмов – одного в первой и трех в третьей. После этого, пожалуй, следует общее отрицательное: оно доказывается и в первой, и во второй фигуре – единственным способом в первой и двумя во второй. А общее утвердительное – самое трудное: оно доказывается только в первой фигуре и в ней единственным способом.

Из этого ясно, что из всех [проблем] общее утвердительное труднее всего доказать, но легче всего опровергнуть: ибо его опровержение происходит через частное отрицательное, которое доказывается во всех фигурах и через наибольшее число силлогизмов; но также и через общее отрицательное, которое само доказывается в двух фигурах и через три силлогизма.

Далее, говорит он, известно также, что доказать общее утвердительное труднее, чем опровергнуть его. Напротив, с частными [проблемами] дело обстоит иначе: частные легче доказать, но труднее опровергнуть.

Опровергается же общее и через противоречащее ему частное: утвердительное – через отрицательное, которое доказывается в трех фигурах, а отрицательное – через утвердительное, которое существует в двух фигурах – первой и третьей; а также через противоположное: общее утвердительное – через общее отрицательное, которое также существует в двух фигурах, а общее отрицательное – через общее утвердительное, которое существует только в одной, то есть в первой.

Доказывается же общее утвердительное единственным способом, а общее отрицательное – тремя способами и в двух фигурах.

«В двух фигурах» он говорит о частном утвердительном, которое является опровергающим для общего отрицательного.

Дополнение к р. 42b27

1. Проблемы (προβλήματα) – типы суждений в силлогизмах:

– Общее утвердительное (καθόλου καταφατικόν)

– Общее отрицательное (καθόλου ἀποφατικόν)

– Частное утвердительное (ἐν μέρει καταφατικόν)

– Частное отрицательное (ἐν μέρει ἀποφατικόν)

2. Фигуры (σχήματα) и способы доказательства:

– 1-я фигура:

– Общее утвердительное (1 способ)

– Общее отрицательное (1 способ)

– Частное утвердительное (1 способ)

– Частное отрицательное (1 способ)

– 2-я фигура:

– Общее отрицательное (2 способа)

– Частное отрицательное (2 способа)

– 3-я фигура:

– Частное утвердительное (3 способа)

– Частное отрицательное (3 способа)

3. Лёгкость доказательства зависит от количества фигур и способов:

– Легче всего доказать частное отрицательное (3 фигуры, 6 способов).

– Сложнее всего – общее утвердительное (только 1-я фигура, 1 способ).

4. Опровержение (ἔλεγχος):

– Общее утвердительное опровергается через частное отрицательное (лёгкое доказательство).

– Частные суждения легче доказать, но труднее опровергнуть.

Пример по логике

– Доказательство общего утвердительного (только 1-я фигура):

Все люди смертны (A). Сократ – человек (B). → Сократ смертен (C).

– Опровержение через частное отрицательное:

Некоторые люди не смертны (отрицание общего утверждения).

Вывод: Чем больше способов доказательства, тем легче проблема решается.

p 43a8

Что же касается частных [суждений], то они опровергаются исключительно.

Это значит: «или опровержение частных [суждений] происходит уже не через общее и через частное, а исключительно» – ведь только через противоположное общее [суждение]. Поэтому опровержение частного [суждения] сложнее. А из них ещё сложнее опровержение частного отрицательного по сравнению с частным утвердительным, потому что его опровержение происходит только через общее утвердительное, что показывается исключительно в первой фигуре. Частное же утвердительное опровергается только через общее отрицательное, и это демонстрируется как в первой, так и во второй фигуре. Утверждение же, как я сказал, строится с меньшим количеством [посылок] для общих [суждений]: общее утвердительное – через один силлогизм, а отрицательное – через три. Частные же [суждения] утверждаются легче: ведь через большее количество силлогизмов – частное отрицательное в трёх фигурах и через шесть силлогизмов, а частное утвердительное – в четырёх силлогизмах и в двух фигурах; кроме того, они утверждаются и через общие [суждения]. Опровергаются же они сложнее: ведь частные [суждения] опровергаются только через противоположные общие – частное отрицательное через общее утвердительное, а частное утвердительное через общее отрицательное, как было сказано ранее.

Но и это общеизвестно, что проблемы опровергаются и друг через друга: ведь общие [суждения] – через противоположные частные, а частные – через общие. Как «всякому» опровергается через «не всякому», так и «не всякому» – через «всякому», и как «ни одному» – через «некоторому», так и «некоторому» – через «ни одному». Однако утверждать друг через друга уже невозможно: ведь общее [суждение] не [утверждается] через подчинённые ему частные; поэтому не друг через друга. Частные [суждения] утверждаются вместе с общими, которым они подчинены, но не наоборот.

Дополнение к p 43a8

Частные суждения зависят от общих в опровержении, но не наоборот. Это отражает иерархию логической силы.

1. Опровержение частных суждений (μερικά / meriká) происходит только через противоположные общие (καθόλου / kathólou):

– Частное утвердительное («Некоторым S есть P» / τινὶ τό Σ είναι τό Π) опровергается общим отрицательным («Ни одному S нет P» / οὐδενὶ τό Σ είναι τό Π).

– Частное отрицательное («Некоторым S нет P» / τινὶ τό Σ μὴ είναι τό Π) опровергается общим утвердительным («Всякому S есть P» / παντὶ τό Σ είναι τό Π).

2. Сложность опровержения:

– Частное отрицательное сложнее опровергнуть, чем утвердительное (требуется только 1-я фигура).

– Частное утвердительное можно опровергнуть в 1-й и 2-й фигурах.

3. Утверждение vs. опровержение:

– Общие суждения утверждаются проще (утвердительное – 1 силлогизм, отрицательное – 3).

– Частные сложнее опровергнуть, но легче утвердить (например, частное отрицательное – 3 фигуры, 6 силлогизмов).

4. Взаимное опровержение:

– Общее и частное опровергают друг друга через противоположность:

– «Всякому» (παντὶ) ↔ «Не всякому» (οὐ παντὶ).

– «Ни одному» (οὐδενὶ) ↔ «Некоторому» (τινὶ).

– Но утверждать друг через друга нельзя: общее не следует из частного.

Примеры по логике:

– Опровержение «Некоторые птицы не летают» (частное отрицательное) требует общего утвердительного: «Все птицы летают».

– Опровержение «Некоторые люди мудры» (частное утвердительное) требует общего отрицательного: «Ни один человек не мудр».

p. 43a14

Вместе с тем очевидно, что опровергать легче, чем утверждать.

Показав, что проблемы опровергаются друг через друга (ведь как частное [суждение] опровергается противоположным общим, так и общее – противоположным частным), но не утверждаются друг через друга, он говорит, что из этого ясно: опровергать легче, чем утверждать. Очевидно также, что во всех случаях легче уничтожить и разрушить что-то, чем создать и произвести – как в природных явлениях, так и в искусственных. Ведь каждое природное явление сложнее создать и произвести, чем разрушить, например, человека или другое природное существо. Точно так же в искусственном легче разрушить корабль или дом, чем построить.

Дополнение к p. 43a14

Разрушение (φθορά) требует меньше усилий, чем созидание (γένεσις). Это верно и для логики, и для реальности.

Опровергнуть (ἀνασκευάζειν) легче, чем доказать (κατασκευάζειн).

Логика:

– Частное суждение (ἐπὶ μέρους) опровергается общим (καθόλου), и наоборот.

– Утверждения не доказывают друг друга, но опровержения взаимосвязаны.

Примеры:

1. Природа (φύσις): Легче разрушить человека (ἄνθρωπος), чем создать.

2. Искусственное (τέχνη): Разрушить дом (οἰκία) или корабль (ναῦς) проще, чем построить.

p. 43a16

Как же происходит всякий силлогизм, через сколько терминов и посылок.

Что всякий силлогизм происходит при взятии некоторого общего термина и что необходимо, чтобы обе посылки были общими утвердительными или по крайней мере одна из них, – это было показано. Но и то, что всякий простой силлогизм происходит через три термина и две посылки, тоже было доказано, а также то, что посылки в каждой фигуре, взятые определённым образом, как он сказал, образуют силлогизм. Кроме того, какая проблема встречается во всех фигурах (ведь частное отрицательное), какая – в двух (ведь частное утвердительное: в первой и третьей; а общее отрицательное – в первой и второй), и какая – только в одной (ведь общее утвердительное: только в первой), – всё это ясно и определено из ранее сказанного.

Дополнение к p. 43a16

Структура силлогизма строго определена тремя терминами и двумя посылками, а его валидность зависит от фигуры и типа посылок.

Силлогизм строится на трёх терминах (ὅροι) и двух посылках (προτάσεις), где:

1. Общий термин (κοινὸν ὅρον) связывает посылки.

2. Посылки должны быть общими утвердительными (καθόλου καταφατικαί) или хотя бы одна из них (p. 43a16).

Логика (λογική) по фигурам (σχήματα):

– Во всех фигурах решается частное отрицательное (μερικὸν ἀποφατικόν) (напр., «Некоторые S не есть P»).

– В двух фигурах:

– Частное утвердительное (μερικὸν καταφατικόν) – в первой (πρῶτον) и третьей (τρίτον) (напр., «Некоторые S есть P»).

– Общее отрицательное (καθόλου ἀποφατικόν) – в первой и второй (δεύτερον) (напр., «Ни одно S не есть P»).

– Только в первой фигуре – общее утвердительное (καθόλου καταφατικόν) (напр., «Все S есть P»).

Примеры (παραδείγματα):

1. Первая фигура:

– Все люди (B) смертны (A).

– Сократ (C) – человек (B).

⇒ Сократ (C) смертен (A). (Общее утвердительное).

2. Вторая фигура:

– Ни одна птица (A) не млекопитающее (B).

– Все киты (C) – млекопитающие (B).

⇒ Ни один кит (C) не птица (A). (Общее отрицательное).

р. 48. 20 Как же мы сами будем располагать средствами для поставленного [перед нами] построения силлогизмов и каким путем будем находить начала для каждого [предмета], теперь и следует сказать.

Научив нас, что такое силлогизм, как он образуется, в каких фигурах, через сколько терминов и посылок – причем каждый [силлогизм] – из близких [посылок] и как они соотносятся друг с другом, а также научив нас о проблемах – какой в какой фигуре доказывается, какой из них в нескольких фигурах и более доступен для доказательства и легче, какой в меньшем числе [фигур], а какой только в одной, что и труднее всего доказать, – [Аристотель] переходит от этого к тому, чтобы наметить нам метод, пользуясь которым мы сможем легко находить силлогизмы и подходящие посылки для поставленной проблемы и для доказываемого заключения (ибо посылки он называет началами). Итак, он передает нам некоторое орудие для их нахождения. Ведь тот, кто собирается пользоваться силлогизмом и доказательством, должен не только знать, что такое силлогизм и как он образуется, но и иметь способность создавать силлогизмы и силлогизировать: это и есть главное для силлогиста.

Что касается метода, который будет передан им, то сначала он принимает и устанавливает некоторые [положения], через которые показывает, что не обо всем следует искать [доказательства] через все. Поскольку из существующего одно – крайнее и неделимое и ни о чем не сказывается, а другое – первые роды, и ничто из них о них не сказывается, то не следует искать доказательства, что неделимое присуще чему-то и сказывается [о нем], или что первые роды имеют присущее им и сказывающееся о них. Ибо из всего существующего, говорит он, одни таковы, что не сказываются ни о чем как общее истинно (истинно – добавляет он, потому что наше исследование не о ложных предикациях, ибо все может ложно сказываться обо всем, но об истинных, то есть имеющих природу сказываться). А «как общее» он сказал либо потому, что это здоровое [положение] – что есть некоторые существующие [вещи], которые ни о чем не сказываются (ибо об отдельных сущностях можно сказать просто и вообще, что они ни о чем не сказываются), либо потому, что иногда кажется, что они сказываются о некоторых [вещах] (например, можно сказать о некотором человеке – Каллии: «некоторый человек есть Каллий», хотя это против природы: здоровым было бы обратное – сказать, что Каллий есть некоторый человек), поэтому он добавил «как общее». Ведь даже если отдельная сущность иногда сказывается против природы, то как общее – никогда ни о чем отдельном по природе: ведь отдельное подкладывается под отдельную сущность в акцидентальных предикациях. Например, мы говорим: «то идущее есть Каллий» или «то белое есть Каллий», потому что об отдельном нельзя истинно сказываться как о другом отдельном.

Полезно для силлогизирования, что одно присуще другому, взять некоторые [вещи], которые сказываются как общее, как он скажет.

Приведя в пример крайней и отдельной сущности Клеона и Каллия, он добавил также «единичное и чувственно воспринимаемое», говоря, что всякая отдельная и чувственно воспринимаемая сущность принадлежит к этой природе: ведь чувственно воспринимаемое и есть единичное.

Эти отдельные сущности сами истинно не сказываются о других, но о них [сказываются] другие: ведь виды и роды отдельных сущностей сказываются о них, а также их акциденции.

Итак, одни из существующих [вещей] таковы, другие же, напротив, сами сказываются о других, но о них ничего не сказывается. Это – высшие и первые | и наиболее общие роды, на которые разделяется сущее в десяти категориях, как он часто говорит.

А некоторые [вещи] и сами сказываются о других, и о них сказываются другие, как то, что находится между первыми родами и отдельными и крайними [сущностями]: таковы человек и животное.

Говоря об отдельных сущностях, что они ни о чем не сказываются, он добавил: «разве что акцидентально», и показал, как получается акцидентальная предикация, сказав: «ведь мы иногда говорим, что то белое есть Сократ и что то идущее есть Каллий», делая предикацию акцидентально и против природы. Ибо в таких случаях мы сказуем подлежащее акциденции, тогда как должно наоборот – сказуемое акциденции о подлежащем: ведь оно содержится в сущности, а не сущность в акциденции.

Такая предикация происходит акцидентально, когда подлежащее менее известно, чем нечто из его акциденций. Через акциденцию мы делаем известным то, чему она присуща: через белое – то, чему белое присуще, когда говорим «белое есть Сократ»; или через идущее – то, чему идущее присуще, когда говорим «идущее есть Каллий».

Но поскольку то, что говорится акцидентально, во всех случаях и как общее не является таковым в собственном и простом смысле, то и акцидентально сказываемое не может называться сказываемым просто.

Дополнение к р. 48. 20

Метод Аристотеля учит:

– Избегать доказательств для крайних терминов (единичное и первые роды).

– Искать средние термины для построения силлогизмов.

– Различать природные и акцидентальные предикации.

1. Силлогизм (συλλογισμός) – логическое умозаключение из посылок.

2. Начала (ἀρχαί) – посылки, из которых строится доказательство.

3. Проблема (πρόβλημα) – вопрос, требующий доказательства.

4. Фигуры силлогизма (σχήματα) – схемы расположения терминов.

5. Крайнее и неделимое (ἄτομον) – единичная сущность (напр., «Каллий»).

6. Первые роды (πρῶτα γένη) – высшие категории (напр., «сущность»).

7. Сказываться (κατηγορεῖσθαι) – быть предикатом (напр., «человек» сказывается о «Сократе»).

8. Акциденция (συμβεβηκός) – случайное свойство (напр., «белое»).

Основные положения:

– Не всё требует доказательства:

– Единичное (ἄτομον) не может быть предикатом (напр., «Каллий» не сказывается ни о чём, кроме как акцидентально: «то белое – Каллий»).

– Высшие роды (πρῶτα γένη) не имеют предикатов (напр., «сущность» сама не сказывается о чём-то другом).

– Промежуточные термины (напр., «человек») и сказываются о единичном, и имеют свои предикаты.

Примеры по логике:

1. Правильно:

– «Сократ – человек» (κατηγορεῖται).

– «Человек – животное» (γένος).

⇒ «Сократ – животное» (силлогизм).

2. Ошибка (акцидентальное высказывание):

– «То белое – Сократ» (συμβεβηκός) – неправильно, ибо сущность (Сократ) должна быть подлежащим.

р. 43a33: «Ибо почти каждое из чувственно воспринимаемых [предметов] таково, что ни о чем не сказывается, разве лишь случайно.

Слово «почти», вероятно, добавлено из-за индивидуальных качеств, которые, будучи чувственно воспринимаемыми, существуют в индивидуальной сущности и сказываются о ней. Или же они не берутся как индивидуальные, когда о них сказывается: ведь тот, кто сказал «Сократ бел», не высказал белизну о его индивидуальности, поскольку определяемое понятие не допускает точного определения. Кроме того, индивидуальная белизна не сказывается ни о чем общем, даже если что-то сказывается о ней. Или же, даже если определяемое не допускает точного определения, но белизна, находящаяся в этом [предмете], может быть высказана о том, в чем она находится, и такое высказывание не является случайным, например: «в этой одежде вот эта белизна».

Или же он называет чувственно воспринимаемыми подлежащие и самостоятельно существующие [вещи], ибо таковы индивидуальные сущности. Поэтому слово «почти» добавлено из-за того, что [сказывается] случайно. Ведь строго говоря, [чувственно воспринимаемое] ни о чем не сказывается.

Показав, какие из существующих [вещей] по природе не могут быть истинно высказаны ни о чем, он говорит о тех, о которых, в свою очередь, ничего не сказывается. И то, что существуют такие [вещи], он откладывает показать впоследствии, а скажет об этом в «Второй Аналитике». Ибо если бы [цепь] продвигалась в бесконечность, так что одно сказывалось бы о другом, то не было бы последнего: у бесконечного не может быть предела, но последнее существует – таково индивидуальное; следовательно, [цепь] предикатов не уходит в бесконечность. Здесь же он пользуется этим как уже доказанным и общепризнанным.

О тех [вещах], о которых ничего не сказывается, как о высших родах, он говорит, что о них ничего нельзя доказать как о предикатах – и справедливо: ведь о том, о чем ничего не сказывается, нельзя доказать, что что-то сказывается [о нем], ибо доказательство касается существующего. Даже если доказываемое высказывается через что-то, как он покажет, – через то, что следует за ним, и через то, чему само доказываемое присуще, – но если у рассматриваемого [предмета] ничего нет, то нельзя доказать, что что-то ему присуще.

Он добавил «разве лишь по мнению», то есть не истинно, но согласно мнению некоторых. Ибо если бы кто-то полагал, что и о них [высших родах] есть нечто, возвышающееся и сказывающееся о них, то можно было бы показать, согласно его предположению, что нечто сказывается и о них. Ведь не одно и то же – доказать нечто и построить силлогизм на основе чьего-то мнения или согласия: ибо многое допускается, в том числе ложное, из чего может получиться силлогизм, но не доказательство. Если бы кто-то, например, принял, что сущность есть бытие, а бытие, в свою очередь, есть единое, то он мог бы вывести, что сущность едина. Но это не доказательство, ибо бытие не сказывается о сущности как род, равно как и единое не сказывается о бытии: бытие и единое – омонимы.

Выражение «по мнению» может относиться и к случайной предикации: как индивидуальные (и чувственно воспринимаемые) сущности, ни о чем не сказывающиеся истинно, иногда сказываются случайно, так и о высших родах вообще ничего не сказывается, но случайно и по мнению [можно сказать] что-то о последующих [родах] – ради ясности, например, если мы скажем, что сущность есть человек.

Или же «по мнению» сказано в смысле «правдоподобно» и «диалектически», как он говорил в «Топике»: «Диалектика, будучи исследовательской, имеет путь к началам всех наук». Поэтому можно и о первых [родах] как-то диалектически строить силлогизмы, доказывая, что им присуще, например, единое (ибо каждое из них едино), но также и бытие.

Итак, о высших родах нельзя доказать, что что-то сказывается [о них], но они [могут сказываться] о других. Например, взяв, что человек есть животное, а животное – сущность, можно доказать, что сущность сказывается о человеке. Напротив, в случае единичных и индивидуальных [вещей] нельзя доказать, что они сказываются о других, ибо они вообще ни о чем не сказываются, но о них [можно доказать, что] сказывается что-то другое. Например, о Клеоне можно доказать, что [о нем] сказывается «человек», если мы примем, что он смешлив, а всякий смешливый есть человек; подобным же образом [можно доказать, что о нем сказывается] «животное» и «сущность».

Но также ясно, что промежуточные [звенья] между индивидуальными [вещами] и первыми родами имеют нечто, что о них сказывается, и сами сказываются о другом. Поэтому исследования, силлогизмы и доказательства касаются именно этих промежуточных [звеньев], (8) ибо они и сказываются о другом, и о них [сказывается] что-то.

Слово «почти» он добавил потому, что исследование может касаться и высших родов, например, сколько есть высших родов, является ли бытие или единое родом, тождественны ли бытие и единое или различны. Однако большинство и самые распространенные [исследования] касаются промежуточных [звеньев].

Кроме того, о высших [родах], даже если мы строим силлогизмы и что-то доказываем, это доказывается не аподиктически, но исходя из последующих [родов]. Ибо не через то, что сказывается [о них]: сказать, что сущность умопостигаема или чувственно воспринимаема, значит сказывать о ней последующие [роды], ибо они вторичны по отношению к сущности.

По этим и подобным причинам он сказал: «почти все рассуждения и исследования касаются преимущественно промежуточных [звеньев]». Ибо даже если что-то не доказывается как присущее первому [роду], но сам он [доказывается] через другое; подобным же образом доказывается что-то и об индивидуальном.

Таким образом, хотя и бывают исследования об этих [крайних звеньях], но большинство [исследований] – о промежуточных, ибо они обладают обоими свойствами.

Однако предлагаемый им способ отбора и метод не подходит ни для высших родов, ни для индивидуальных [вещей], но только для промежуточных: и подлежащее, и предикат в проблеме должны быть промежуточными. Ибо только так мы сможем взять и то, что следует за каждым из них (то есть предикаты, сказывающиеся о них), и то, за чем они следуют (то есть подлежащие для каждого из них). Через это он намечает нахождение посылок, беря также в отборе и те термины проблемы, которые не следуют ни за одним из них.

Согласно изложенному, мы можем доказать, что высший род присущ чему-то, если возьмем то, за чем он следует: это полезно для предикации обо всем, как он покажет; но у него есть и то, за чем он следует.

С другой стороны, мы можем доказать, что что-то присуще последнему и индивидуальному, взяв то, что следует за ним, – поскольку о нем можно взять его предикаты. Ибо мы не будем брать и то, что следует за ними, и то, за чем они следуют, во всех случаях, если только они не таковы, но там, где можно взять лишь одно из двух, это и будет взято, и силлогизм относительно него будет построен на этом.

А если и в этих случаях, то мы берем и правдоподобное, и случайное.»

Дополнение к р. 43a33

Доказательства возможны только для промежуточных терминов, так как они имеют и подлежащее, и предикаты. Высшие роды и индивидуальное – крайние точки, где строгая логика неприменима.

1. Чувственно воспринимаемое (αἰσθητά) обычно ни о чем не сказывается (κατηγορεῖται), кроме как случайно (κατὰ συμβεβηκός).

– Исключение: индивидуальные качества (ἴδια ποιά), которые сказываются о сущности (οὐσία), но не как самостоятельные (напр., «Сократ бел» – белизна не отделима от него).

2. Высшие роды (γένη) (напр., «сущность», «бытие») – о них ничего не сказывается истинно, только «по мнению» (κατὰ δόξαν) или диалектически (например, «сущность едина» – но это не доказательство, а силлогизм на основе допущений).

3. Индивидуальное (ἄτομον) (напр., «эта белизна») ни о чем не сказывается, но о нем сказываются предикаты (напр., «Клеон – человек»).

4. Промежуточные звенья (напр., «животное», «человек») – главный предмет доказательств (ἀπόδειξις), так как они:

– Сказываются о другом (человек → животное).

– Имеют предикаты (животное → сущность).

Примеры по логике

– Высший род: «Сущность (οὐσία) есть бытие (ὄν)» – недоказуемо, но принимается диалектически.

– Индивидуальное: «Эта одежда бела» – белизна не сказывается ни о чем, кроме этой одежды.

– Промежуточное: «Человек есть животное» → доказуемо через связь с сущностью.

p. 43b1 Надлежит взять положения относительно каждого из них.

Сказав, что они собой представляют, относительно чего преимущественно возникают исследования и рассуждения (поскольку это те вещи, которым что-то сопутствует и которые сами что-то имеют, которым они следуют; ибо это промежуточные между первыми родами и атомарными сущностями), а также сказав, какие из них относятся к первым родам (ибо они присущи другим), а какие – к атомарным (ибо им присуще другое), как мы найдем и возьмем положения для рассматриваемой проблемы в целях доказательства, он намечает и поясняет. Рассуждение он ведет о промежуточных, которые и сами присущи другим, и другим присущи им. Возможно, как я сказал, из его пояснений взять и первые роды, которым они следуют, а затем снова атомарные, следующие за ними.

Он сказал, что есть четыре проблемы: общеутвердительная, общеотрицательная, частноутвердительная, частноотрицательная. Для доказательства каждой из этих проблем, как мы найдем подходящие положения и, как он сам говорит, возьмем и выберем, он намечает.

Надо, говорит он, при постановке проблемы сначала взять, разделить и изложить каждый из терминов, содержащихся в проблеме: один из них – подлежащий, другой – сказуемый. Ибо первое – это указание на него; относительно чего мы хотим взять положения, то, говорит он, надо сначала предположить. Мы же хотим относительно терминов, содержащихся в проблеме, взять некоторые положения, либо соединяющие их, либо разделяющие.

И после того, как таким образом взяты термины, для каждого из них – и для подлежащего термина, и для сказуемого – взять определение и свойственные им особенности: ибо термины в проблеме он называет вещами.

После этого, говорит он, надо вообще выбрать все, что следует за каждым из терминов. Следуют же определения тем, чьи они определения, и свойства; но они следуют только им самим, как, например, «живое существо разумное смертное» – человеку и «способное смеяться»; потому они и равны им и заменяют их, и не только они следуют им, но и сами они следуют им, поскольку взаимно обращаются равнозначные.

Следуют им также роды и видовые отличия, но они уже не только им (как «живое существо» – человеку и «двуногое»). Эти он назвал особым образом следующими.

Ясно, что все, что следует чему-то, сказывается обо всем этом.

После этого, говорит он, надо выбирать и брать то, чему следуют сами вещи, то есть те, что положены в проблеме; в проблеме же содержатся термины проблемы. Например, если термином является «живое существо», то чему следует «живое существо»? Оно следует человеку и всем видам, которые под ним, а «живому существу» следует «одушевленное». Ибо то, чему следует термин проблемы, не сказывается обо всем термине, следующем за ними, а наоборот, термин сказывается обо всем каждом из них: ибо следующее – это то, что сказывается обо всем.

Далее, говорит он, надо выбирать и то, что не может им принадлежать, например, человеку – «ржать», живому существу – «неодушевленное». А то, чему оно само не может принадлежать, говорит он, уже не надо брать: ибо это одно и то же – и то, что ему не принадлежит, и то, чему оно не принадлежит, поскольку общеотрицательное взаимно обращается само с собой.

Но не таковы следующие за ними и те, которым они следуют: ибо «живому существу» следует «одушевленное», а само оно следует человеку, коню, своим видам. Потому он и считает нужным делать выбор из обоих этих, поскольку общеутвердительное не обращается само с собой.

А из того, что им не принадлежит и чему они не принадлежат, нет выбора обоих, поскольку это одно и то же и взаимно обращается.

Он говорит, что надо разделять и сами следующие: какие следуют им как содержащиеся в их сущности и сказывающиеся в «что есть», и какие – как свойства, и какие – как привходящие. Ибо не одно и то же свойства и то, что сказывается в сущности и в «что есть» и так следует: например, «живое существо» и «разумное» следуют человеку как сами по себе и сказывающиеся в «что есть», а «способное смеяться» – как свойство, но не как сказывающееся в «что есть».